Tìm các giá trị nguyên của x để P= 2+x/x^2+x+1 đạt giá trị nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P = \frac{2+x}{x^2+x+1} \) đạt giá trị nguyên, ta cần phân tích biểu thức này.

Chúng ta viết lại biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{2+x}{x^2+x+1}
\]

Thực hiện phân tích mẫu số \( x^2+x+1 \):
- Mẫu số \( x^2+x+1 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \), vì nó là một đa thức bậc hai không có nghiệm thực (định thức \( D = b^2 - 4ac = 1 - 4 < 0 \)).

Để \( P \) là số nguyên, điều kiện cần là \( 2+x \) phải chia hết cho \( x^2+x+1 \).

Ta sẽ làm việc với điều kiện chia hết này:

\[
2+x = k(x^2+x+1)
\]

Trong đó \( k \) là một số nguyên.

Ta thực hiện một số thay thế và thử nghiệm cho các giá trị nguyên của \( x \):

1. **Khi \( x = 0 \)**
\[
P = \frac{2+0}{0^2+0+1} = \frac{2}{1} = 2 \quad (\text{Nguyên})
\]

2. **Khi \( x = 1 \)**
\[
P = \frac{2+1}{1^2+1+1} = \frac{3}{3} = 1 \quad (\text{Nguyên})
\]

3. **Khi \( x = -1 \)**
\[
P = \frac{2-1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1}{1} = 1 \quad (\text{Nguyên})
\]

4. **Khi \( x = 2 \)**
\[
P = \frac{2+2}{2^2+2+1} = \frac{4}{7} \quad (\text{Không nguyên})
\]

5. **Khi \( x = -2 \)**
\[
P = \frac{2-2}{(-2)^2 + (-2) + 1} = \frac{0}{3} = 0 \quad (\text{Nguyên})
\]

6. **Khi \( x = 3 \)**
\[
P = \frac{2+3}{3^2+3+1} = \frac{5}{13} \quad (\text{Không nguyên})
\]

7. **Khi \( x = -3 \)**
\[
P = \frac{2-3}{(-3)^2 + (-3) + 1} = \frac{-1}{7} \quad (\text{Không nguyên})
\]

8. **Khi \( x = 4 \)**
\[
P = \frac{2+4}{4^2+4+1} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \quad (\text{Không nguyên})
\]

9. **Khi \( x = -4 \)**
\[
P = \frac{2-4}{(-4)^2 + (-4) + 1} = \frac{-2}{13} \quad (\text{Không nguyên})
\]

Như vậy, các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) là số nguyên bao gồm:

\[
x = 0, 1, -1, -2
\]

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) mà \( P \) đạt giá trị nguyên là \( x = 0, 1, -1, -2 \).