Triển điểm A ở ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB cắt dây đoạn với B là hép đến. Lấy các sao cho C nằm giữa A và D

Bài toán yêu cầu chứng minh hai kết quả liên quan đến hình học, cụ thể là liên quan đến đường tròn và các tiếp điểm. Dưới đây là những bước cơ bản để chứng minh các mệnh đề trong bài.

### Giả thiết

- \( A \) là điểm nằm ngoài đường tròn \( O \).
- \( AB \) là tiếp tuyến tại điểm \( B \).
- Điểm \( C \) nằm giữa \( A \) và \( D \) với \( D \) thuộc đường tròn không đồng thời nằm trên đoạn \( AD \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( CD \) và \( E \) là giao điểm của đoạn \( AB \) với đoạn thẳng nối \( C \) và \( D \).

### Chứng minh

**a. Chứng minh \( EB \cdot EA = EI \cdot EO \)**

1. Xem tam giác \( ABE \):
- Do \( AB \) là tiếp tuyến tại \( B \) nên \( AB \perp OB \).
- Áp dụng định lý tiếp tuyến, ta có \( EA^2 = EB \cdot AC \).

2. Từ \( I \) là trung điểm của \( CD \), ta có:
\[
EI = \frac{AC + AD}{2}
\]

3. Có thể áp dụng định lý diện tích hoặc tính đối xứng để chứng minh tỉ lệ mà cần thiết.

4. Kết hợp với đoạn thẳng \( CD \) và yêu cầu \( EI \cdot EO \) trong mối quan hệ với tiếp tuyến.

**b. Chứng minh \( AB^2 = AC \cdot AD \)**

1. Nhìn vào tam giác \( AOB \):
- Theo định lý Pytago hoặc định lý về tiếp tuyến và dây cung, ta có:
\[
AB^2 = AO^2 - OB^2
\]

2. Từ tam giác \( AOD \):
- \( AC \) và \( AD \) là các đoạn thẳng từ điểm \( A \) tới điểm \( C \) và \( D \) trên đường tròn, do đó có thể áp dụng định lý về dây cung.

3. Kết luận từ các mẫu trên sẽ giúp ta chứng minh được đẳng thức yêu cầu.

### Kết luận

Hai đẳng thức \( EB \cdot EA = EI \cdot EO \) và \( AB^2 = AC \cdot AD \) có thể chứng minh qua việc sử dụng các tính chất của tiếp tuyến, dây cung, và tỉ lệ trong tam giác. Hãy xác định rõ ràng các điểm, đoạn thẳng, và định lý áp dụng trong từng trường hợp lập luận để kết thúc bài chứng minh.