Để giải bài toán đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

**1. Tính giá trị biểu thức \( A \) tại \( x = -4 \):**

Biểu thức \( A \) được cho như sau:

\[
A = \frac{x - 5}{x + 2}
\]

Thay \( x = -4 \):

\[
A = \frac{-4 - 5}{-4 + 2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2}
\]

**2. Rút gọn biểu thức \( B \):**

Biểu thức \( B \) được cho bởi:

\[
B = \frac{6}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} - \frac{8}{x^2 - 4}
\]

Chúng ta biết rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \), vì vậy chúng ta có thể viết lại biểu thức:

\[
B = \frac{6}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} - \frac{8}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Để rút gọn, ta đưa tất cả các thành phần về cùng mẫu:

Mẫu chung là \((x - 2)(x + 2)\), nên:

\[
B = \frac{6(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{8}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Từ đó ta có:

\[
B = \frac{6x + 12 + x^2 - 2x - 8}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Thu gọn tử số:

\[
B = \frac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{x - 2} \quad (x \neq -2)
\]

**3. Tìm \( n \) nguyên lớn nhất để \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên:**

Từ các bước trên, ta có:

\[
A = \frac{9}{2}, \quad B = \frac{x + 2}{x - 2}
\]

Và:

\[
P = A \cdot B = \frac{9}{2} \cdot \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{9(x + 2)}{2(x - 2)}
\]

Để \( P \) là số nguyên, mẫu số cần chia hết cho \( 9 \):

\[
2(x - 2) \text{ phải chia hết cho } 9.
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
x - 2 = 9k \text{ với } k \in \mathbb{Z}.
\]

Vậy, \( x = 9k + 2 \).

Muốn tìm giá trị nguyên lớn nhất của \( n \), ta thực hiện thử với các giá trị của \( k \). Tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể, có thể thử với các giá trị khác nhau.

Nếu không có giới hạn cụ thể cho \( n \), bạn có thể chọn giá trị chỉnh hợp trong khả năng cho trước (ví dụ, với \( k = 1 \), \( x = 11 \)). Kết quả cuối cùng có thể thay đổi dựa trên các điều kiện ngoại vi của bài toán.