Để tìm \( x \) trong phương trình sau:

\[
2^{x+2} \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x} = 10800
\]

Đầu tiên, chúng ta phân tích \( 10800 \) ra thừa số nguyên tố:

\[
10800 = 108 \times 100 = (2^2 \cdot 3^3) \times (10^2) = (2^2 \cdot 3^3) \times (2 \cdot 5)^2
\]
\[
= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}
\]

Bây giờ ta có:

\[
2^{x+2} \cdot 3^{x+1} \cdot 5^{x} = 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}
\]

So sánh các bậc với nhau:

1. Đối với cơ số \( 2 \):
\[
x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2
\]

2. Đối với cơ số \( 3 \):
\[
x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2
\]

3. Đối với cơ số \( 5 \):
\[
x = 2
\]

Tất cả các phương trình đều cho cùng một giá trị \( x = 2 \).

Vậy, nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{2}
\]