Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình \( \sin 4x + \sin x = 0 \).

### Bước 1: Chuyển đổi phương trình
Ta có:
\[
\sin 4x = -\sin x
\]
Ta có thể sử dụng công thức cộng của sin:
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right)
\]
Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta chuyển sang dùng công thức giữa các hàm lượng giác.

### Bước 2: Phân tích nghiệm
Từ phương trình trên, ta có hai trường hợp:

1. \( \sin 4x = -\sin x \)
2. Đưa về định dạng \(\sin\):
\[
\sin 4x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin 4x = \sin(-x)
\]
=> \( 4x = -x + 2k\pi \) hoặc \( 4x = \pi + x + 2k\pi \) (k ∈ Z).

### Bước 3: Nghiệm
Giải từng trường hợp:

1. Từ \( 4x = -x + 2k\pi \) ta có:
\[
5x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{2k\pi}{5}
\]

2. Từ \( 4x = \pi + x + 2k\pi \) ta có:
\[
3x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi(2k + 1)}{3}
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm không tương đương
Giờ ta sẽ kiểm tra các đáp án để tìm nghiệm không tương đương với phương trình \( \sin 4x + \sin x = 0 \).

**Các đáp án:**
- A: \( \sin 4x = \sin(x + \pi) \)
- B: \( \sin 4x = \sin(-x) \)
- C: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3} \)
- D: \( \sin 5x = 0 \)

Từ phương trình, các nghiệm của nó có dạng \( x = \frac{k2\pi}{5} \) và \( x = \frac{\pi(2k + 1)}{3} \).

### Đánh giá
Trong số các đáp án:
- Một trong những dạng \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{k2\pi}{3} \) (đáp án C) không có trong cách tìm nghiệm của \( \sin 4x + \sin x = 0 \).

### Kết luận
**Đáp án không tương đương với phương trình \( \sin 4x + \sin x = 0 \) là: C.**