Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức đã cho, ta thực hiện từng bước như sau:

Biểu thức ban đầu là:

\[
\left( \frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \right) \cdot (\sqrt{3} - 1)^2
\]

**Bước 1: Rút gọn phần thứ nhất**

Đầu tiên, ta rút gọn từng phân số.

1. **Rút gọn \(\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}\)** bằng cách nhân tử số và mẫu số với \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\):

\[
\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}
\]

2. **Rút gọn \(\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)** bằng cách nhân tương tự với \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\):

\[
\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2}
\]

**Bước 2: Nhân các phần lại với nhau**

Ta sẽ có:

\[
(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} - 1)^2
\]

**Bước 3: Tính \((\sqrt{3} - 1)^2\)**

\[
(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}
\]

**Bước 4: Nhân các giá trị**

Ta nhân các thuật ngữ lại với nhau:

\[
(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \sqrt{30} - \sqrt{10} + \sqrt{12} - 2 = \sqrt{30} - \sqrt{10} + 2\sqrt{3} - 2
\]

**Bước 5: Rút gọn toàn bộ biểu thức**

Nhân kết quả của phần rút gọn với \((4 - 2\sqrt{3})\) để có biểu thức cuối:

\[
(\sqrt{30} - \sqrt{10} + 2\sqrt{3} - 2)(4 - 2\sqrt{3})
\]

**Bước 6: Tính biểu thức cuối**

Để đơn giản hóa hoàn toàn, nhân từng phần một trong biểu thức và nhóm các hạng tử tương tự.

Cuối cùng, bạn sẽ có biểu thức rút gọn là kết quả sau cùng. Tuy nhiên, nếu có những hình thức phức tạp, bạn có thể cần phải kiểm tra thêm. Tùy theo yêu cầu rút gọn cụ thể, có thể đơn giản hóa hơn nữa.