Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn trong hình chữ nhật ABCD có AD = 18 cm và CD = 12 cm, ta thực hiện như sau:

1. **Đặc điểm của hình chữ nhật**: Trong hình chữ nhật, các góc đều là góc vuông (90 độ).

2. **Đường chéo của hình chữ nhật**: Đường chéo AC và BD của hình chữ nhật đều bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng, tức là ở điểm O.

3. **Tính chất của hình chữ nhật**: Bất kỳ tứ giác nội tiếp nào cũng có tổng ba góc đối diện bằng 180 độ. Do đó, trong hình chữ nhật, ta có:
- ∠A + ∠C = 180 độ
- ∠B + ∠D = 180 độ

Vì tất cả các góc nội tại A, B, C, D đều là góc vuông, điều đó cho thấy bốn điểm này thuộc cùng một đường tròn (do tất cả tạo thành một tứ giác).

4. **Tính bán kính**:
- Để tính bán kính R của đường tròn đi qua bốn điểm này, ta có thể sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác:
\[
R = \frac{abc}{4K}
\]
Trong đó \( a, b, c \) là các cạnh và \( K \) là diện tích tứ giác. Đối với hình chữ nhật, ta tính diện tích:
\[
K = AD \times CD = 18 \times 12 = 216 \text{ cm}^2
\]
Tương tự, độ dài đường chéo AC hoặc BD sẽ được tính theo định lý Pitago:
\[
AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{18^2 + 12^2} = \sqrt{324 + 144} = \sqrt{468} = 6\sqrt{13} \text{ cm}
\]

Cuối cùng, bán kính đường tròn sẽ là:
\[
R = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{13}}{2} = 3\sqrt{13} \text{ cm}
\]

Vậy bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là \( 3\sqrt{13} \text{ cm} \).