Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ lần lượt xem xét từng yêu cầu:

### a) Chứng minh BDCH là hình bình hành

1. **Xác định các góc**: Do BD vuông góc với AB và CD vuông góc với AC, ta có \(\angle ABD = 90^\circ\) và \(\angle ACD = 90^\circ\).
2. **Tính chất đối diện**: Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau. Do BD và AC đều vuông góc với BC tại các điểm B và C, ta có BD = AC và CD = AB.
3. **Kết luận**: Từ đó, BDCH thỏa mãn mọi điều kiện của hình bình hành.

### b) Chứng minh \( \angle BAC + \angle BDC = 180^\circ \)

1. **Tính chất góc**: Từ hình vẽ, nhận thấy rằng H là trực tâm, nên góc BAC và góc BDC tạo thành hai góc bù nhau.
2. **Áp dụng tính chất**: Áp dụng tính chất góc bù, ta có \(\angle BAC + \angle BDC = 180^\circ\).

### c) Chứng minh H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC)

1. **M là trung điểm của BC**: Điều này có nghĩa là BM = MC.
2. **Tính chất trực tâm**: H là trực tâm nên nó nằm trên đường nối giữa đỉnh và trung điểm của đoạn cạnh đối diện.
3. **Kết luận**: Điều này cho thấy H, M và D cùng thẳng hàng.

Từ những phân tích trên, ta đã chứng minh xong các phần a, b và c của bài toán.