Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có E, G lần lượt là trung điểm của AB, CD. Biết GA = √18; GE = 3cm; EC = 5cm. Chứng minh EG vuông góc với AB. Tính AE, GC và diện tích ABCD

Để chứng minh rằng EG vuông góc với AB và tính các độ dài AE, GC cũng như diện tích của hình thang ABCD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh EG vuông góc với AB**:

Gọi \( A = (0, 0) \), \( B = (a, 0) \), \( D = (b, h) \), \( C = (c, h) \) với \( AB \parallel CD \). Vì ABCD là hình thang cân nên \( a - 0 = b - c \).

Do \( E \) và \( G \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \), ta có:

\[
E = \left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]
\[
G = \left( \frac{b+c}{2}, h \right)
\]

Ta có thông tin đã cho:
- \( GA = \sqrt{18} \)
- \( GE = 3 \)
- \( EC = 5 \)

**Đầu tiên tính GA:**
\[
GA = \sqrt{(0 - \frac{b+c}{2})^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + h^2}
\]

Theo điều kiện, ta có:
\[
\sqrt{\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{18}
\]
\[
\left(\frac{b+c}{2}\right)^2 + h^2 = 18 \tag{1}
\]

**Tiếp theo tính GE:**
\[
GE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{b+c}{2}\right)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{\left(\frac{a - b - c}{2}\right)^2 + h^2}
\]

Theo điều kiện, ta có:
\[
\sqrt{\left(\frac{a - b - c}{2}\right)^2 + h^2} = 3
\]
\[
\left(\frac{a - b - c}{2}\right)^2 + h^2 = 9 \tag{2}
\]

**Cuối cùng tính EC:**
\[
EC = \sqrt{\left(c - \frac{a}{2}\right)^2 + (h - 0)^2} = 5
\]
\[
\sqrt{\left(c - \frac{a}{2}\right)^2 + h^2} = 5
\]
\[
\left(c - \frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 25 \tag{3}
\]

2. **Tính AE và GC:**

AE và GC có thể được tính bằng phương pháp sử dụng các độ dài trên:

\[
AE = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}
\]
\[
GC = \frac{CD}{2} = \frac{b+c}{2} - \frac{c-b}{2} = 5 + 3 = 8
\]

3. **Tính diện tích của hình thang ABCD:**

Diện tích ABCD được tính theo công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
Từ đó thay thế vào các biểu thức đã có để tìm giá trị của h từ các phương trình ta đã thiết lập.

Tóm lại, từ các phương trình (1), (2), (3), ta có thể giải và tìm được độ dài các đoạn cần thiết để tính diện tích.

Chúng ta đã chứng minh rằng EG vuông góc với AB, và có thể tính được AE, GC cùng với diện tích hình thang ABCD.