Để chứng minh và tính toán các yêu cầu trong hình thang cân \(ABCE\), ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh \(IE = IC\)

Gọi \(AB = a\) và \(CE = b\), với \(a < b\). Đặt \(AB = x\) và \(CE = x + 2\) theo đề bài.

1. **Điểm I** là trung điểm của \(AB\) nên \(I\) chia \(AB\) thành 2 phần bằng nhau.

\[
AI = IB = \frac{AB}{2} = \frac{x}{2}
\]

2. **Chúng ta biết rằng hình thang cân \(ABCE\) có các cạnh đối song song \(AB\) và \(CE\)**, nên chiều cao từ điểm \(C\) và \(E\) đến cạnh \(AB\) là bằng nhau. Giả sử chiều cao (h) của hình thang là từ \(C\) và \(E\) đến đường thẳng \(AB\).

3. Vẽ đường thẳng \(IE\) và \(IC\). Vì \(AB || CE\) và \(ABCE\) là hình thang cân, nên \(IE\) và \(IC\) là hai đoạn thẳng nối mỗi điểm ở các đáy với trung điểm ở đáy trên.

4. Ta sẽ chứng minh rằng 2 đoạn này có chiều dài bằng nhau qua việc xét tam giác.

- Xét tam giác \(AIE\) và \(CIE\):
- Vì \(AB || CE\) và \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên:
- \(IE\) đối diện với \(AI\) và \(IC\) đối diện với \(CI\).
- \(AI = \frac{x}{2}\) và \(CI = \frac{x+2 - x}{2} = 1\) (vì \(C\) và \(A\) nằm trên các cạnh song song).
- Do đó, hai tam giác \(AIE\) và \(CIE\) có chiều cao giống nhau và đáy \(AI\) và \(CI\) đều chiều cao 1.

5. Khi đó theo định lý Pythagore trong các tam giác vuông hay tính chất của hình thang cân, ta có:

\[
IE = IC
\]

### b) Tính diện tích của hình thang \(ABCE\) theo \(x\)

Diện tích \(S\) của hình thang được tính theo công thức:

\[
S = \frac{(AB + CE) \cdot h}{2}
\]

Với \(AB = x\), \(CE = x + 2\), chiều cao (h) có thể được tính bằng:

\[
h = AH = x \Rightarrow h = \frac{x}{2}
\]

Áp dụng công thức tính diện tích,

\[
S = \frac{(x + (x + 2)) \cdot h}{2}
\]

Tính \(S\) ta có:

\[
S = \frac{(x + x + 2) \cdot h}{2} = \frac{(2x + 2) \cdot x}{2}
\]

Giải thích đơn giản hơn,

\[
S = \frac{(2x + 2) \cdot x}{2} = \frac{(2x + 2)x}{2}
\]

Cuối cùng,

\[
S = x^2 + x
\]

### Kết luận

- Đã chứng minh \(IE = IC\).
- Diện tích của hình thang \(ABCE\) theo \(x\) là:

\[
S = x^2 + x
\]