Chúng ta sẽ giải từng phần bài toán theo yêu cầu.

### Phần 1: Tính giá trị biểu thức \( A \) tại \( x = -4 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x - 5}{x + 2}
\]

Thay \( x = -4 \):
\[
A = \frac{-4 - 5}{-4 + 2} = \frac{-9}{-2} = \frac{9}{2}
\]

### Phần 2: Rút gọn biểu thức \( B \)
Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{6}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} - \frac{8}{x^2 - 4}
\]
Lưu ý rằng \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \), do đó chúng ta có:
\[
B = \frac{6}{x - 2} + \frac{x}{x + 2} - \frac{8}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Chúng ta đưa về mẫu chung:
Mẫu chung là \( (x - 2)(x + 2) \).

Biểu thức trở thành:
\[
B = \frac{6(x + 2) + x(x - 2) - 8}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tính tử số:
\[
= \frac{6x + 12 + x^2 - 2x - 8}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Biểu thức \( x^2 + 4x + 4 \) có thể viết lại là:
\[
= \frac{(x + 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{x - 2} \quad (x \neq -2)
\]

Vậy rút gọn được:
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2}
\]

### Phần 3: Tìm \( x \) nguyên lớn nhất để \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên

Tính \( P \):
\[
P = A \cdot B = \left( \frac{x - 5}{x + 2} \right) \cdot \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right)
\]
\[
= \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x - 5}{x - 2} \quad (x \neq -2)
\]

Để \( P \) có giá trị nguyên, \( \frac{x - 5}{x - 2} \) phải là số nguyên.
Giả sử \( k = \frac{x - 5}{x - 2} \) với \( k \in \mathbb{Z} \):
\[
x - 5 = k(x - 2) \implies x - 5 = kx - 2k \implies x - kx = 5 - 2k \implies x(1 - k) = 5 - 2k
\]
\[
x = \frac{5 - 2k}{1 - k}
\]

Ta cần \( x \) là số nguyên, do đó \( 1 - k \) phải khác 0 và \( 5 - 2k \) phải chia hết cho \( 1 - k \).

Xét \( k \) có thể nhận các giá trị khác nhau:
- Khi \( k = 1 \): không hợp lệ (chia cho 0).
- Khi \( k = 2 \): \( x = 1 \).
- Khi \( k = 3 \): \( x = 1 \).
- Khi \( k = 0 \): \( x = 5 \).
- Khi \( k = -1 \): \( x = \frac{7}{2} \) (không nguyên).

Tiếp tục để tìm giá trị nguyên lớn nhất, thử các giá trị khác:
- \( k = -2, -3, 4, 5, \ldots \)

Sau khi kiểm tra, các giá trị cho \( k \) sẽ dẫn tới các \( x \) khác nhau. Tìm ra giá trị nguyên lớn nhất từ các phép tính này là \( \boxed{5} \).