Tìm cặp số x; y nguyên, biết |x+3|+|x-1|=16/|y-2|+|y+2|

Để giải phương trình \( |x+3| + |x-1| = \frac{16}{|y-2| + |y+2|} \), chúng ta sẽ giải từng phần.

### Bước 1: Tính giá trị của \( |x+3| + |x-1| \)

Ta sẽ xét các trường hợp cho \( x \):

1. **Trường hợp 1:** \( x < -3 \)
\[
|x+3| = - (x+3) = -x - 3, \quad |x-1| = - (x-1) = -x + 1
\]
Vậy:
\[
|x+3| + |x-1| = -x - 3 - x + 1 = -2x - 2
\]

2. **Trường hợp 2:** \( -3 \leq x < 1 \)
\[
|x+3| = x+3, \quad |x-1| = - (x-1) = -x + 1
\]
Vậy:
\[
|x+3| + |x-1| = x + 3 - x + 1 = 4
\]

3. **Trường hợp 3:** \( x \geq 1 \)
\[
|x+3| = x + 3, \quad |x-1| = x - 1
\]
Vậy:
\[
|x+3| + |x-1| = x + 3 + x - 1 = 2x + 2
\]

### Bước 2: Xét từng trường hợp

Ta có ba trường hợp cho giá trị của \( |x+3| + |x-1| \).

1. **Nếu \( x < -3 \):**
\[
-2x - 2 = \frac{16}{|y-2| + |y+2|}
\]
Suy ra:
\[
|y-2| + |y+2| = \frac{16}{-2x-2} = -\frac{8}{x+1}
\]

2. **Nếu \( -3 \leq x < 1 \):**
\[
4 = \frac{16}{|y-2| + |y+2|}
\]
Suy ra:
\[
|y-2| + |y+2| = 4
\]

3. **Nếu \( x \geq 1 \):**
\[
2x + 2 = \frac{16}{|y-2| + |y+2|}
\]
Suy ra:
\[
|y-2| + |y+2| = \frac{16}{2x + 2} = \frac{8}{x + 1}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị của \( |y-2| + |y+2| \)

Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của \( |y-2| + |y+2| \):
\[
|y-2| = |y| - 2 \quad \text{(nếu \( y \geq 2 \))}
\]
\[
|y-2| + |y+2| = |y| + 2
\]
Đối với mọi \( y \), \( |y-2| + |y+2| = |y| + 2 \).

### Giải phương trình

1. **Trong trường hợp 2**:
\[
|y-2| + |y+2| = 4 \Rightarrow |y| + 2 = 4 \Rightarrow |y| = 2 \Rightarrow y = 2 \text{ hoặc } y = -2
\]

Khi \( y = 2 \), từ phương trình:
- Với \( x < -3 \): không có nghiệm vì \( -\frac{8}{x+1} \) không dương.
- Với \( -3 \leq x < 1 \): \( x \) có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng đó.
- Với \( x \geq 1 \): không thống nhất.

Khi \( y = -2 \):
- Xử lý tương tự như trên.

### Kết luận

Cặp số nguyên \( (x, y) \) có thể là:
- \( x \in [-3, 1) \) và \( y = 2 \) hoặc \( y = -2 \).

=> Tóm lại, cặp số có thể là \( (x, y) \) là:
- \( (-3, 2) \)
- \( (0, 2) \)
- \( (0, -2) \)
- và tất cả các giá trị nguyên \( x \) trong khoảng \([-3, 1)\) với \( y = 2 \) hoặc \( y = -2 \).