Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tai H, chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC và tính AH biết AB = 4cm; BC = 6cm

Để chứng minh rằng \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \) trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \), và tính độ dài \( AH \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \)

Trong tam giác cân \( ABC \), ta có \( AB = AC \). Khi kẻ đường cao \( AH \) từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), điểm \( H \) là chân đường vuông góc.

- Trong tam giác \( ABH \) và \( ACH \), ta có:
- \( AB = AC \) (do tam giác cân),
- \( AH \) là chung,
- \( BH = CH \) (vì \( H \) là chân vuông góc chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau).

Do đó, theo tiêu chuẩn bằng nhau của hai tam giác, ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle ACH
\]

Từ đó, suy ra:
\[
\angle BAH = \angle CAH
\]

Nên, \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

### Bước 2: Tính độ dài \( AH \)

Ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ABH \):

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Đầu tiên, ta cần tính \( BH \). Vì \( H \) là trung điểm của đoạn \( BC \) (do \( AH \) là đường cao), nên:
\[
BH = \frac{BC}{2} = \frac{6\, \text{cm}}{2} = 3\, \text{cm}
\]

Thay các giá trị vào công thức Pythagore:
\[
4^2 = AH^2 + 3^2
\]

Tính toán:
\[
16 = AH^2 + 9
\]
\[
AH^2 = 16 - 9 = 7
\]
\[
AH = \sqrt{7} \approx 2.65\, \text{cm}
\]

### Kết luận

- \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \).
- Độ dài \( AH \) là \( \sqrt{7} \) cm, khoảng \( 2.65 \) cm.