Để thực hiện phép tính và giải bài toán này, ta sẽ làm từng bước một như sau:

### Bước 1: Thực hiện phép tính

Ta cần tính giá trị của biểu thức:
\[
\left( \frac{1}{\sqrt{3}-2} - \frac{1}{\sqrt{3}+2} \right) \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}
\]

1. **Tính phần bên trong dấu ngoặc**:
Tìm phân số:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}-2} - \frac{1}{\sqrt{3}+2}
\]

Để thực hiện phép trừ phân số, ta quy về cùng mẫu:
\[
\frac{(\sqrt{3}+2) - (\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{4}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{4}{3-4} = -4
\]

2. **Thay vào biểu thức**:
\[
-4 \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{-4(2-\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}}
\]

Tiến hành rút gọn:
Nhân và chia bằng liên hợp của mẫu:
\[
\frac{-4(2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{-4(2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2)}{1-2} = \frac{-4(\sqrt{2})}{-1} = 4\sqrt{2}
\]

Vậy kết quả của phép tính là:
\[
4\sqrt{2}
\]

### Bước 2: Giải bài toán cho biểu thức A

Biểu thức đã cho:
\[
A = \frac{x}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x-2}} + \frac{1}{\sqrt{x+2}}
\]

### a) Tính x để A xác định

Biểu thức A xác định khi:
- \( x - 4 \neq 0 \) => \( x \neq 4 \)
- \( x - 2 > 0 \) => \( x > 2 \)
- \( x + 2 > 0 \) => \( x > -2 \)

Do đó, tập hợp giá trị xác định cho x là:
\[
x > 4
\]

### b) Rút gọn A

Để rút gọn A, ta cần tìm mẫu chung và thực hiện phép tính. Mẫu chung là \((x-4)\sqrt{x-2}\sqrt{x+2}\).

**Để rút gọn, ta sẽ cần tính toán cụ thể.**

### c) Tìm giá trị của x để A = -1

Giải phương trình:
\[
A = -1
\]
Bằng cách thay giá trị A vào và giải phương trình.

### d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị

Cần kiểm tra mọi giá trị nguyên từ tập xác định tìm được \(x > 4\).

Hy vọng các bước hướng dẫn trên sẽ giúp bạn thực hiện và giải bài tập này!