Để chứng minh các bất đẳng thức trong tứ giác \(ABCD\) với giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), ta sẽ áp dụng bất đẳng thức tam giác.

### a) Chứng minh \( AC + BD > AB + CD \)

1. **Xét tam giác \(AOB\)**:
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\[
AB + AO > OB \quad (1)
\]

2. **Xét tam giác \(COD\)**:
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\[
CD + CO > OD \quad (2)
\]

3. **Cộng (1) và (2)**:
\[
(AB + AO) + (CD + CO) > OB + OD
\]
\[
AB + CD + AO + CO > OB + OD
\]

4. **Gọi \(AC = AO + OC\) và \(BD = BO + OD\)**:
- Trong đó, ta có \(OA + OC = AC\) và \(OB + OD = BD\).
- Như vậy, ta có thể viết lại thành:
\[
AC + BD > AB + CD
\]

### b) Chứng minh \( AC + BD > AD + BC \)

1. **Xét tam giác \(AOD\)**:
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\[
AD + AO > OD \quad (3)
\]

2. **Xét tam giác \(BOC\)**:
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\[
BC + BO > OC \quad (4)
\]

3. **Cộng (3) và (4)**:
\[
(AD + AO) + (BC + BO) > OD + OC
\]
\[
AD + BC + AO + BO > OD + OC
\]

4. **Gọi \(AC = AO + OC\) và \(BD = BO + OD\)**:
- Như vậy, ta viết lại thành:
\[
AC + BD > AD + BC
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh được cả hai bất đẳng thức:
1. \( AC + BD > AB + CD \)
2. \( AC + BD > AD + BC \)

Chứng minh hoàn tất!