Cho ∆ABC vuông tại A, phân giác góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho AB = BE

Để chứng minh các yêu cầu bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng phần một:

### a) Chứng minh \( \triangle ABD = \triangle AEB \)

**Giả thiết:**
\[
AB = BE \quad \text{(theo đề bài)}
\]
\[
\angle A = \angle A \quad \text{(góc chung)}
\]
\[
\angle ABD = \angle ABE \quad \text{(góc này bằng nhau vì BE là phân giác)}
\]

**Kết luận:**
Theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh, ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle AEB
\]

### b) So sánh \( AD \) và \( CD \)

**Xét phân giác góc B:**
Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

Mà \( AB = BE \), nên \( AB < BC \).

Do đó:
\[
\frac{AD}{DC} < 1 \rightarrow AD < DC
\]

### c) Chứng minh BD đi qua trung điểm của CF

**Vẽ hai điểm:**
Gọi điểm \( F \) là giao điểm của \( ED \) và \( AB \).

Khi đó, \( D \) là một điểm thuộc \( AC \), và \( F \) là điểm trên \( AB \).

Sử dụng định lý tứ giác: Khi bạn có hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle AEB \) đã chứng minh là đồng dạng, ta sẽ có:

- Gọi \( M \) là trung điểm của \( CF \)
- Tứ giác \( BCFM \) là tứ giác đối diện

Từ đó, theo tính chất của tứ giác, tính chất đồng dạng của tam giác và đoạn thẳng, ta thấy rằng:
\[
BD \text{ là phân giác của góc } BCF
\]

Do đó, BD sẽ đi qua trung điểm của CF.

### Kết luận

1. \( \triangle ABD = \triangle AEB \) (đồng dạng).
2. \( AD < CD \) (so sánh độ dài).
3. \( BD \) đi qua trung điểm của \( CF \) (theo tính chất phân giác).