Để giải hệ phương trình đã cho:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \quad (1) \\
\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{15} \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta đặt:

\[
u = \frac{1}{x}, \quad v = \frac{1}{y}
\]

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
u + v = \frac{3}{4} \quad (3) \\
\frac{1}{6}u + \frac{1}{5}v = \frac{2}{15} \quad (4)
\end{cases}
\]

### Bước 1: Từ phương trình (3)

Từ phương trình (3), ta có:

\[
v = \frac{3}{4} - u
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình (4)

Thay \(v\) vào phương trình (4):

\[
\frac{1}{6}u + \frac{1}{5}\left(\frac{3}{4} - u\right) = \frac{2}{15}
\]

### Bước 3: Giải phương trình

Phân tích:

\[
\frac{1}{6}u + \frac{3}{20} - \frac{1}{5}u = \frac{2}{15}
\]

Chuyển đổi \(\frac{1}{5}\) sang mẫu 6:

\[
\frac{1}{5} = \frac{6}{30} \quad \text{vậy } \frac{1}{5}u = \frac{6}{30}u
\]

Tìm mẫu chung:

\[
\frac{5}{30}u + \frac{3}{20} - \frac{6}{30}u = \frac{2}{15}
\]

Hợp lệ thành:

\[
-\frac{1}{30}u + \frac{3}{20} = \frac{2}{15}
\]

Chuyển \(\frac{3}{20}\) sang mẫu 60:

\[
-\frac{1}{30}u + \frac{9}{60} = \frac{8}{60}
\]

### Bước 4: Tiếp tục giải

Chuyển \(\frac{9}{60}\) sang bên phải:

\[
-\frac{1}{30}u = \frac{8}{60} - \frac{9}{60} = -\frac{1}{60}
\]

Giải ra \(u\):

\[
u = \frac{1}{2}
\]

### Bước 5: Tìm v

Từ \(u = \frac{1}{2}\):

\[
v = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}
\]

### Bước 6: Chuyển về x và y

Từ:

\[
u = \frac{1}{x} \implies x = 2
\]
\[
v = \frac{1}{y} \implies y = 4
\]

### Kết quả

Giải hệ phương trình, ta có:

\[
(x, y) = (2, 4)
\]