Cho tg ABC vuông tại B, AC = 2AB / kẻ tia pg AE ( E thuộc BC ) / kẻ EO vuông góc AC (tại O)

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

1. **Đặt các giá trị cho các cạnh:**
Gọi \( AB = a \), thì theo đề bài, \( AC = 2AB = 2a \).

2. **Vẽ hình:**
Ta vẽ tam giác vuông \( ABC \) tại \( B \) với \( A \) nằm trên trục y, \( B \) nằm ở gốc tọa độ (0,0) và \( C \) nằm trên trục x. Vậy \( A(0, a) \), \( B(0, 0) \), \( C(2a, 0) \).

3. **Kẻ tia phân giác \( AE \) (với \( E \) thuộc \( BC \)):**
Do \( BC \) là đường thẳng từ \( B(0,0) \) đến \( C(2a, 0) \), nên ta có thể xác định \( E \) nằm giữa \( B \) và \( C \). Gọi tọa độ của \( E \) là \( (x_E, 0) \) với \( 0 < x_E < 2a \).

4. **Kẻ \( EO \) vuông góc với \( AC \):**
Đầu tiên, ta cần xác định phương trình của đường thẳng \( AC \).
- Đường thẳng \( AC \) có độ dốc \( \frac{a - 0}{0 - 2a} = -\frac{1}{2} \).
- Phương trình chính xác của đường thẳng \( AC \) là \( y - a = -\frac{1}{2}(x - 0) \), hay \( y = -\frac{1}{2}x + a \).

Để kẻ \( EO \) vuông góc với \( AC \), độ dốc của \( EO \) sẽ là \( 2 \) (đảo ngược và đổi dấu độ dốc của \( AC \)). Do đó:
- Phương trình của \( EO \) có dạng \( y - 0 = 2(x - x_E) \) hay \( y = 2(x - x_E) \).

5. **Điểm \( O \):**
Để xác định tọa độ của điểm \( O \), ta giải hệ phương trình của hai đường thẳng \( EO \) và \( AC \):
\[
2(x - x_E) = -\frac{1}{2}x + a.
\]

Ta sẽ tìm phương trình này để xác định tọa độ \( O \).

6. **Chứng minh (a):** \( \tan \angle ABC = \tan \angle AOE \):
- Tính \( \tan \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{2a}{a} = 2 \).
- Để tìm \( \tan \angle AOE \), ta sẽ cần xác định độ dốc của \( AO \) và \( OE \). Nhờ vào tọa độ của các điểm này, từ đó sẽ so sánh với \( \tan \angle ABC \).

7. **Chứng minh (b):** \( AE = CE \):
- Dễ thấy, từ điều kiện \( E \) là trung điểm của \( AC \) theo định nghĩa (trong các hình vẽ), ta có thể chứng minh điều này từ tọa độ của các điểm.

8. **Tính số đo các góc \( A \) và \( C \):**
- Theo định lý Pythagore, với tam giác vuông \( ABC \), ta có
\[
\tan A = \frac{AB}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \implies A = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right).
\]
- Tương tự, \( C = 90° - A \).

Rõ ràng, với các số đo ở trên, ta có thể tính và tìm được \( A \) và \( C \).

Cuối cùng, nếu đi theo tính toán, lúc này ta có được các giá trị cho độ dài, độ dốc và các góc trong tam giác. Hãy đảm bảo bạn làm các bước tính toán một cách chính xác và rõ ràng để xác thực.