Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần a) và b) như sau:

### a) Chứng minh M, P lần lượt là trung điểm của AB, AC

Khi N là trung điểm của BC, ta có:
- \( BN = NC \)

Xét hình chiếu của N trên AB, gọi là M:
- M nằm trên AB sao cho \( NM \perp AB \).

Xét hình chiếu của N trên AC, gọi là P:
- P nằm trên AC sao cho \( NP \perp AC \).

Do N là trung điểm của BC, ta có \( AN = \frac{1}{2}(AB + AC) \).

Để chứng minh rằng M và P là trung điểm của AB và AC, ta thực hiện như sau:
- Dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMN và APN:

1. Trong tam giác AMN vuông tại M:
\[
AN^2 = AM^2 + MN^2
\]

2. Trong tam giác APN vuông tại P:
\[
AN^2 = AP^2 + NP^2
\]

Bởi vì N là trung điểm của BC, nên MN = NP (do hai đoạn thẳng đều là độ dài của hình chiếu từ điểm N đến hai cạnh).

Từ đó, ta đủ điều kiện để kết luận rằng M và P chính là trung điểm của AB và AC.

### b) Tứ giác ANCE là hình gì?

Để xác định tứ giác ANCE, chúng ta cần chú ý đến các điểm:
- A là đỉnh của tam giác vuông.
- N là trung điểm của BC.
- M, P là các hình chiếu tương ứng trên AB, AC.
- E là trung điểm của đoạn thẳng NE.

Xét vị trí của các điểm, ta thấy rằng tứ giác ANCE luôn là hình paralellogram, vì các đoạn thẳng AN và EC song song, tương tự với AD và NE.

Vậy tứ giác ANCE là hình bình hành.

Nếu bạn cần thêm chi tiết về các bước chứng minh hoặc định lý liên quan, hãy cho biết!