Tính A = 1/7 + 7^2 + 7^3 +....+ 7^100

Để tính giá trị của biểu thức \( A = \frac{1}{7} + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{100} \), trước tiên chúng ta có thể chia biểu thức này thành hai phần: phần hạng đầu và phần hạng còn lại.

Chúng ta có thể viết lại A như sau:

\[
A = \frac{1}{7} + \sum_{n=2}^{100} 7^n
\]

Để tính tổng \( \sum_{n=2}^{100} 7^n \), chúng ta nhận thấy đây là một chuỗi số hình học. Tổng của một chuỗi số hình học có dạng:

\[
S = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là hạng đầu.
- \( r \) là tỷ lệ.
- \( n \) là số hạng.

Trong trường hợp này, hạng đầu \( a = 7^2 \), tỷ lệ \( r = 7 \) và số hạng là \( 100 - 2 + 1 = 99 \) (từ \( n=2 \) đến \( n=100 \)). Vậy ta có:

\[
\sum_{n=2}^{100} 7^n = 7^2 \cdot \frac{1 - 7^{99}}{1 - 7}
\]

Tính giá trị \( 1 - 7 = -6 \):

\[
\sum_{n=2}^{100} 7^n = 49 \cdot \frac{1 - 7^{99}}{-6}
\]

Giờ ta có thể tính tổng:

\[
\sum_{n=2}^{100} 7^n = -\frac{49}{6} (1 - 7^{99}) = \frac{49 \cdot (7^{99} - 1)}{6}
\]

Vậy biểu thức \( A \) trở thành:

\[
A = \frac{1}{7} + \frac{49 (7^{99} - 1)}{6}
\]

Để tính \( A \), ta chuyển đổi phân số \( \frac{1}{7} \) thành có mẫu số chung với \( \frac{49 (7^{99} - 1)}{6} \). Mẫu số chung giữa 7 và 6 là 42, nên ta có:

\[
\frac{1}{7} = \frac{6}{42} \quad và \quad \frac{49 (7^{99} - 1)}{6} = \frac{49 \cdot (7^{99} - 1) \cdot 7}{42}
\]

\[
= \frac{343 (7^{99} - 1)}{42}
\]

Kết hợp lại:

\[
A = \frac{6 + 343 (7^{99} - 1)}{42} = \frac{343 \cdot 7^{99} - 343 + 6}{42} = \frac{343 \cdot 7^{99} - 337}{42}
\]

Vậy giá trị \( A \) cuối cùng là:

\[
A = \frac{343 \cdot 7^{99} - 337}{42}
\]