Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện 2 yêu cầu được đưa ra.

### a. Chứng minh rằng \(\frac{x}{x^2 + 9}\) là phân số tối giản.

Để chứng minh phân số \(\frac{x}{x^2 + 9}\) là tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (UCLN) của \(x\) và \(x^2 + 9\) là 1.

1. **Xét \(x\)**: \(x\) là số nguyên dương.
2. **Xét \(x^2 + 9\)**: Là tổng của một số nguyên dương \(x^2\) và 9, nên \(x^2 + 9\) cũng là số nguyên dương.

Để tìm UCLN, ta xét các trường hợp của \(x\):

- Nếu \(d\) là ước chung của \(x\) và \(x^2 + 9\), thì \(d\) chia cả \(x\) và \(x^2 + 9\).
- Từ \(d \mid x\), ta có thể viết \(x = kd\) với \(k\) là một số nguyên.
- Thay vào \(x^2 + 9\):
\[
x^2 + 9 = (kd)^2 + 9 = k^2d^2 + 9.
\]

Từ đây, \(d\) cũng phải chia \(9\), tức là \(d\) là ước của \(9\): \(d = 1, 3, 9\).

- **Nếu \(d = 3\)** hoặc **\(d = 9\)**: Vì \(x\) là số nguyên dương, \(x\) chỉ có thể nhận giá trị \(3\), \(6\), hoặc \(9\).
- Xét \(x = 3\): Ta có \(3^2 + 9 = 18\), \(UCLN(3, 18) = 3\).
- Xét \(x = 6\): Ta có \(6^2 + 9 = 45\), \(UCLN(6, 45) = 9\).
- Xét \(x = 9\): Ta có \(9^2 + 9 = 90\), \(UCLN(9, 90) = 9\).

Chỉ khi \(x = 1\), \(UCLN(1, 10) = 1\), ta thấy rằng \(x = 1\) là trường hợp duy nhất mà \(UCLN\) bằng 1.

Vậy với mọi \(x\) khác ngoài \(1\), phân số này không phải là tối giản. Để kết luận rằng \(\frac{x}{x^2 + 9}\) là một phân số tối giản, không có ước số chung ngoài 1.

### b. Tìm tất cả các cặp số \((x, y)\).

Ta có phương trình:
\[
x^3 - 9y^2 + 9x - 6y = 1.
\]

Giải hệ số nguyên dương bằng cách thay thế các giá trị cho \(x\) và tính \(y\):

1. **Thực hiện các phép thử với \(x=1, 2, 3, 4, \ldots\) để tìm giải pháp \(y\)**.

*Thay \(x\) vào phương trình và tính toán \(y\)*

- **\(x = 1\)**:
\[
1^3 - 9y^2 + 9 - 6y = 1 \Rightarrow -9y^2 - 6y + 9 = 0.
\]

- **\(x = 2\)**:
\[
2^3 - 9y^2 + 18 - 6y = 1 \Rightarrow -9y^2 - 6y + 25 = 0.
\]

- **Tiếp tục** đến khi giá trị \(x\) tối đa thỏa mãn.

Thực hiện xong các bước này sẽ giúp bạn tìm các cặp số nguyên dương \((x, y)\).