Để chứng minh \( \angle KAM = 45^\circ \) trong hình vuông \( ABCD \) với điểm \( M \) trên cạnh \( BC \) sao cho \( \angle AMB = \angle AMK \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử hình vuông \( ABCD \) có các tọa độ như sau:
- \( A(0, 1) \)
- \( B(1, 1) \)
- \( C(1, 0) \)
- \( D(0, 0) \)

- Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) nên có tọa độ \( M(1, y) \) với \( 0 \leq y \leq 1 \).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng**:
- Độ dài \( AM \) là:
\[
AM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{1 + (y - 1)^2} = \sqrt{(y - 1)^2 + 1}
\]
- Độ dài \( MB \) là:
\[
MB = \sqrt{(1 - 1)^2 + (y - 1)^2} = |y - 1|
\]

3. **Vì \( \angle AMB = \angle AMK \)** nên ta có:
\[
\text{Tỉ số: } \frac{AM}{MB} = \frac{AM}{MK} \implies \frac{|y - 1|}{AM} = \frac{|MK|}{AM}
\]
Từ đó, ta suy ra rằng độ dài của \( MB \) và \( MK \) có tỉ lệ tương ứng như nhau.

4. **Tương quan giữa các góc**:
- Xét tam giác \( AMB \) và tam giác \( AMK \):
- Theo định lý Sin, nếu chúng đồng dạng (do cùng một tỉ lệ bên), thì các góc sẽ tương ứng.

5. **Chứng minh \( \angle KAM = 45^\circ \)**:
- Chúng ta thấy rằng trong tam giác vuông \( AMK \) (vì \( AMB = AMK \)), khẳng định rằng góc giữa cạnh \( AK \) và \( AM \) là một góc vuông.
- Từ cấu trúc hình vuông, chúng ta có \( \angle AMB = 90^\circ \), nên dẫn tới \( \angle KAM = 45^\circ \).

### Kết luận
Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( \angle KAM = 45^\circ \).