Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( f(x, y) = 4x^2 + 3y^2 - 4xy + 2x - y + 5 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm riêng.

1. **Tính đạo hàm riêng:**

- Đạo hàm theo \( x \):
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 8x - 4y + 2
\]
- Đạo hàm theo \( y \):
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 6y - 4x - 1
\]

2. **Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0:**
Giải hệ
\[
8x - 4y + 2 = 0 \quad (1)
\]
\[
6y - 4x - 1 = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1):
\[
8x - 4y = -2 \implies 4y = 8x + 2 \implies y = 2x + \frac{1}{2}
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
6(2x + \frac{1}{2}) - 4x - 1 = 0
\]
\[
12x + 3 - 4x - 1 = 0 \implies 8x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}
\]

Thay \( x = -\frac{1}{4} \) vào \( y = 2x + \frac{1}{2} \):
\[
y = 2(-\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0
\]

Vậy ta có điểm cực trị tại \( (x, y) = \left(-\frac{1}{4}, 0\right) \).

3. **Tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị:**
\[
f\left(-\frac{1}{4}, 0\right) = 4\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 3(0)^2 - 4\left(-\frac{1}{4}\right)(0) + 2\left(-\frac{1}{4}\right) - 0 + 5
\]
\[
= 4 \cdot \frac{1}{16} + 0 + 0 - \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 5
\]
\[
= \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 5 = -\frac{1}{4} + 5 = \frac{20}{4} - \frac{1}{4} = \frac{19}{4}
\]

4. **Kiểm tra tính chất của hàm:**
Để chắc chắn đó là giá trị nhỏ nhất, ta phải kiểm tra định thức Hessian \( H \):
\[
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
8 & -4 \\
-4 & 6
\end{bmatrix}
\]

Tính định thức:
\[
\det(H) = 8 \cdot 6 - (-4)(-4) = 48 - 16 = 32 > 0
\]
Và \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 8 > 0 \).

Do đó, hàm số có điểm cực tiểu tại \( \left(-\frac{1}{4}, 0\right) \) và giá trị nhỏ nhất của hàm là
\[
\frac{19}{4}.
\]

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của \( f(x, y) = 4x^2 + 3y^2 - 4xy + 2x - y + 5 \) là \( \frac{19}{4} \).