Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho cả \( p + 4 \) và \( p + 8 \) đều là số nguyên tố, ta có thể thử các giá trị của \( p \).

- Bắt đầu với số nguyên tố nhỏ nhất là 2:
- \( p = 2 \):
- \( p + 4 = 6 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 3 \):
- \( p + 4 = 7 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 8 = 11 \) (là số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 5 \):
- \( p + 4 = 9 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 7 \):
- \( p + 4 = 11 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 8 = 15 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 11 \):
- \( p + 4 = 15 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 13 \):
- \( p + 4 = 17 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 8 = 21 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 17 \):
- \( p + 4 = 21 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 19 \):
- \( p + 4 = 23 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 8 = 27 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 23 \):
- \( p + 4 = 27 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 29 \):
- \( p + 4 = 33 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 31 \):
- \( p + 4 = 35 \) (không phải số nguyên tố)

- Tiếp theo là \( p = 37 \):
- \( p + 4 = 41 \) (là số nguyên tố)
- \( p + 8 = 45 \) (không phải số nguyên tố)

Từ những thử nghiệm trên, ta thấy rằng số duy nhất mà thỏa mãn điều kiện \( p + 4 \) và \( p + 8 \) đều là số nguyên tố là \( p = 3 \).

Vậy \( p = 3 \) là số nguyên tố duy nhất sao cho cả \( p + 4 \) và \( p + 8 \) đều là số nguyên tố.