Tìm số hạng thứ 30 và tính tổng

Dãy số bạn đưa ra là 20, 30, 42, 56, ...

Để tìm số hạng thứ 30 và tính tổng, trước tiên chúng ta cần xác định quy luật của dãy số này.

Chúng ta có thể tìm sự khác nhau giữa các số hạng liên tiếp:

- \(30 - 20 = 10\)
- \(42 - 30 = 12\)
- \(56 - 42 = 14\)

Như vậy, sự chênh lệch giữa các số hạng là 10, 12, 14,... Đây là một dãy số tăng đều với công sai là 2.

Cụ thể, sự khác nhau của số hạng thứ n so với số hạng trước đó là:
- \(d_n = 10 + 2(n - 1)\)

Số hạng n của dãy được tính bằng công thức:
- \(a_n = a_1 + (n - 1)(d_{n})\)

Trong đó:
- \(a_1 = 20\) (số hạng đầu tiên),
- \(d_{n}\) là sự khác nhau giữa hai số hạng liền kề.

Áp dụng công thức:
1. Tìm các giá trị cho \(d_n\):
- \(d_1 = 10\),
- \(d_2 = 12\),
- \(d_3 = 14\),
- ...
- \(d_{n} = 10 + 2(n - 1) = 8 + 2n\).

2. Cộng dồn các giá trị này lại để tìm số hạng thứ 30:
- Số hạng thứ 30 là
\[
a_{30} = 20 + \sum_{k=1}^{29} (10 + 2k)
\]

Tính tổng:
\[
= 20 + [10 \times 29 + 2 \sum_{k=1}^{29} k]
\]
Sử dụng công thức tổng số tự nhiên:
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Áp dụng vào trường hợp của chúng ta (n=29):
\[
= 20 + 290 + 2 \times \frac{29 \times 30}{2}
\]
\[
= 20 + 290 + 29 \times 30
\]
Tính tiếp:
\[
29 \times 30 = 870
\]
Vậy tổng lại sẽ là:
\[
= 20 + 290 + 870 = 1180
\]

Vậy số hạng thứ 30 là **1180** và tổng của 30 số hạng đầu tiên là **1180**.