Để giải hệ phương trình này, ta sẽ giải từng phương trình một.

### Bước 1: Giải phương trình \( (x-1)(2x+3) + 2x = 2 \)

Bắt đầu bằng cách mở dấu ngoặc:
\[
(x-1)(2x+3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3
\]

Thay vào phương trình:
\[
2x^2 + x - 3 + 2x = 2
\]

Cộng gộp lại:
\[
2x^2 + 3x - 3 = 2
\]

Chuyển hằng số sang bên trái:
\[
2x^2 + 3x - 5 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4}
\]

Tính hai nghiệm:
1. \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \)
2. \( x_2 = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \)

### Bước 2: Giải phương trình \( \frac{7-x}{2} + \frac{2}{3}(x-7)(x-3) = 0 \)

Bắt đầu bằng cách nhân cả hai bên với 6 (bội của 2 và 3) để loại bỏ mẫu:
\[
6 \left(\frac{7-x}{2}\right) + 6 \left(\frac{2}{3}(x-7)(x-3)\right) = 0
\]
\[
3(7-x) + 4(x-7)(x-3) = 0
\]

Mở dấu ngoặc:
\[
21 - 3x + 4[(x^2 - 10x + 21)] = 0
\]
\[
21 - 3x + 4x^2 - 40x + 84 = 0
\]
\[
4x^2 - 43x + 105 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{43 \pm \sqrt{(-43)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 105}}{2 \cdot 4}
\]
\[
x = \frac{43 \pm \sqrt{1849 - 1680}}{8} = \frac{43 \pm \sqrt{169}}{8} = \frac{43 \pm 13}{8}
\]

Tính hai nghiệm:
1. \( x_1 = \frac{56}{8} = 7 \)
2. \( x_2 = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} \)

### Kết quả cuối cùng
Các giá trị của \( x \) là:
1. Từ phương trình đầu tiên: \( x = 1 \) hoặc \( x = -\frac{5}{2} \)
2. Từ phương trình thứ hai: \( x = 7 \) hoặc \( x = \frac{15}{4} \)

Như vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
- Từ phương trình đầu tiên: \( 1, -\frac{5}{2} \)
- Từ phương trình thứ hai: \( 7, \frac{15}{4} \)

Các nghiệm là \( x = 1, -\frac{5}{2}, 7, \frac{15}{4} \)