Để chứng minh độ dài đường trung tuyến
AM trong tam giác
ABC, với
M là trung điểm của cạnh
BC, ta sử dụng định lý về độ dài đường trung tuyến.
Gọi các ký hiệu sau:
-
a=BC-
b=AC-
c=ABĐộ dài đường trung tuyến
AM có thể được tính bằng công thức:
AM=12√2b2+2c2−a2
Để chứng minh công thức mà bạn đã đề xuất
AM=bcb⋅cosA+c⋅cosA, trước hết hãy xử lý lại công thức này.
Ta có
M là trung điểm của đoạn thẳng
BC, do đó:
BM=MC=a2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC, ta có:
a=√b2+c2−2bccosA
Thay
a vào biểu thức cho
AM:
AM=12√2b2+2c2−(b2+c2−2bccosA)
Hay là:
AM=12√b2+c2+2bccosA
Tuy nhiên, để chứng minh chính xác và đầy đủ công thức mà bạn đưa ra, bạn có thể thử áp dụng định lý Cosine hoặc các phương pháp khác trong hình học. Nếu cần, bạn có thể cung cấp thêm thông tin về tam giác hoặc hệ thức mà bạn muốn chứng minh để có thể đưa ra hướng đi chính xác hơn.