Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n thì đa thức x^2n - x^n + 1 không chia hết cho đa thức x^2 - x + 1

Để chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên \( n \), đa thức \( P_n(x) = x^{2n} - x^n + 1 \) không chia hết cho đa thức \( Q(x) = x^2 - x + 1 \), chúng ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách sử dụng định lý phần dư.

1. **Tìm nghiệm của đa thức \( Q(x) \):**
Đa thức \( Q(x) = x^2 - x + 1 \) có các nghiệm là:
\[
\omega = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad \overline{\omega} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}
\]
Cả hai nghiệm này là các số phức và có độ dài 1 (nằm trên đơn vị tròn trong mặt phẳng phức).

2. **Xét đa thức \( P_n(x) \) tại các nghiệm của \( Q(x) \):**
Chúng ta sẽ tính giá trị của \( P_n(\omega) \), sử dụng tính chất của \( \omega \):
\[
\omega^2 = \omega - 1
\]
Từ đó chúng ta có:
- \( \omega^3 = 1 \)
- \( \omega^0 = 1 \)
- \( \omega^1 = \omega \)
- \( \omega^2 = \omega - 1 \)

3. **Tính \( P_n(\omega) \):**
Thay \( \omega \) vào \( P_n(x) \):
\[
P_n(\omega) = \omega^{2n} - \omega^n + 1
\]
- Nếu \( n \) chia hết cho 3 (giả sử \( n = 3k \)):
\[
\omega^{2n} = \omega^{6k} = (\omega^3)^{2k} = 1 \quad \text{và} \quad \omega^n = \omega^{3k} = 1
\]
=> \( P_n(\omega) = 1 - 1 + 1 = 1 \)

- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \) (giả sử \( n = 3k + 1 \)):
\[
\omega^{2n} = \omega^{2(3k+1)} = \omega^{6k + 2} = \omega^2 \quad \text{và} \quad \omega^n = \omega^{3k + 1} = \omega
\]
=> \( P_n(\omega) = \omega^2 - \omega + 1 = (\omega - 1) - \omega + 1 = 0 \)

- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \) (giả sử \( n = 3k + 2 \)):
\[
\omega^{2n} = \omega^{2(3k+2)} = \omega^{6k + 4} = \omega^1 \quad \text{và} \quad \omega^n = \omega^{3k + 2} = \omega^2
\]
=> \( P_n(\omega) = \omega - \omega^2 + 1 = \omega - (\omega - 1) + 1 = 1 \)

4. **Kết luận:**
Từ các phép tính trên, ta có:
- \( P_n(\omega) \neq 0 \) nếu \( n \equiv 0 \) hoặc \( n \equiv 2 \mod 3 \).
- \( P_n(\omega) = 0 \) nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \).

Do đó, \( P_n(x) \) không chia hết cho \( Q(x) \) cho tất cả các giá trị của \( n \) (trừ \( n \equiv 1 \mod 3 \)).

Vậy \( P_n(x) \) này không chia hết cho \( Q(x) \) là đúng.