Rút gọn biểu thức: A

Để rút gọn biểu thức \( A \) trước tiên ta sẽ xem xét từng phần:

### Biểu thức \( A \)

\[
A = (1 + \cos \alpha) \cot^2 \alpha (1 - \cos \alpha)
\]

Biểu thức \( \cot^2 \alpha \) có thể được viết lại như sau:

\[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Substituting vào biểu thức \( A \):

\[
A = (1 + \cos \alpha) \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} (1 - \cos \alpha)
\]

Rút gọn thêm:

\[
A = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Sử dụng công thức hằng đẳng thức:

\[
(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha
\]

Thay vào:

\[
A = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha
\]

Vậy kết quả rút gọn của \( A \):

\[
A = \cos^2 \alpha
\]

### Biểu thức \( B \)

\[
B = \frac{\sin^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}
\]

Tìm chung mẫu:

\[
B = \frac{\sin^3 \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha) + \sin^3 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha)}
\]

Rút gọn tử:

\[
B = \frac{\sin^3 \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}
\]

\[
B = \frac{\sin^3 \alpha (2 \sin \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}
\]

\[
B = \frac{2\sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}
\]

Vậy kết quả rút gọn của \( B \):

\[
B = \frac{2\sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}
\]

### Kết luận

- \( A = \cos^2 \alpha \)
- \( B = \frac{2\sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} \)