Để tính tổng \( S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \ldots + n(n + 1) \), ta cần tìm công thức cho từng hạng tử của tổng này. Mỗi hạng tử có thể được viết dưới dạng:

\[
k(2k + 1) = 2k^2 + k,
\]

với \( k = 1, 2, \ldots, n \). Do đó, tổng có thể viết lại như sau:

\[
S = \sum_{k=1}^{n} k(2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k)
\]

Tách tổng ra ta có:

\[
S = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k
\]

Ta sử dụng công thức tổng của số hạng bình phương và tổng của số tự nhiên:

1. Tổng \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
2. Tổng \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} \)

Thay vào công thức tổng, ta có:

\[
S = 2 \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Tính toán \( S \):

\[
S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Đưa về mẫu chung giữa hai phần:

\[
S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{3} + \frac{3n(n + 1)}{6}
\]
\[
= \frac{2n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1)}{6}
\]
\[
= \frac{n(n + 1) (2(2n + 1) + 3)}{6}
\]
\[
= \frac{n(n + 1) (4n + 5)}{6}
\]

Vậy giá trị tổng quát của tổng \( S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \ldots + n(n + 1) \) là:

\[
S = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}
\]