Để giải bài toán về tam giác ABC với các trung tuyến và các điểm trung bình mà bạn đã đề cập, ta sẽ đi qua từng phần một.

**a) Tính độ dài MN, DE.**

Trung tuyến AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC, và trung tuyến BN nối đỉnh B với trung điểm N của cạnh AC. Xét G là giao điểm của hai trung tuyến, ta có thể sử dụng các tính chất của trung tuyến để tính độ dài MN và DE.

- Từ tính chất của trung tuyến, ta có:
\[
AG = \frac{2}{3} AM \quad \text{và} \quad BG = \frac{2}{3} BN
\]

- Với D là trung điểm của AG, ta có:
\[
AD = \frac{1}{2} AG = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} AM = \frac{1}{3} AM
\]

- Tương tự, với E là trung điểm của BG, ta có:
\[
BE = \frac{1}{2} BG = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} BN = \frac{1}{3} BN
\]

Để tính độ dài MN, ta cần tính độ dài của các trung tuyến AM và BN. Một trong những công thức tính độ dài trung tuyến là:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Tuy nhiên, để tính MN và DE cụ thể, chúng ta cần thêm thông tin về chiều dài các cạnh khác hoặc góc trong tam giác. Không có thông tin rõ ràng ở đây, ta không thể tính được độ dài MN và DE.

**b) Các tứ giác ABMN, ABED và DEMN là hình gì? Vì sao?**

- Tứ giác ABMN: Gồm các đỉnh A, B, M (trung điểm của BC), và N (trung điểm của AC). Tứ giác này có thể là hình tứ giác tùy thuộc vào vị trí của các điểm M và N.

- Tứ giác ABED: Gồm các đỉnh A, B, E, D. Với D và E là các trung điểm của AG và BG, tứ giác ABED là hình bình hành, vì DE sẽ song song và bằng chiều dài của AB.

- Tứ giác DEMN: Gồm các đỉnh D, E, M, N. Tứ giác này cũng có thể là hình bình hành vì DE song song với MN (và độ dài DE = MN).

**c) AABC cần có điều kiện gì để DEMN là hình chữ nhật và tính độ dài trung tuyến CF hạ từ đỉnh C của AABC để DEMN là hình vuông?**

Để DE và MN vuông góc thì A, B, C phải thoả mãn một số điều kiện:

1. DE phải vuông góc với MN.
2. Các góc tạo thành giữa các cạnh phải là 90 độ.

Để có DEMN là hình chữ nhật, ta cần tính điều kiện nào bên trong tam giác là điều kiện vuông góc.

Để DEMN là hình vuông, ngoài điều kiện DEMN là hình chữ nhật, DE và MN phải bằng nhau.

Cuối cùng, độ dài trung tuyến CF sẽ được tính bằng công thức tương tự như trên cho cạnh đối diện C, nếu có chiều dài các cạnh còn lại.

Tóm lại, để có thể xác định MN, DE, cũng như các tứ giác và điều kiện cho DEMN, cần có thêm thông tin về chiều dài cạnh còn lại là AC hoặc độ dài các cạnh BC.