Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số hữu tỉ là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là \( \frac{2}{3} \), giữa số thứ nhất và số thứ ba là \( \frac{4}{9} \). Tìm các số đó

Gọi ba số hữu tỉ cần tìm là \( x \), \( y \), và \( z \). Theo đề bài, chúng ta có:

1. \( x^3 + y^3 + z^3 = -1009 \).
2. Tỉ số giữa \( x \) và \( y \) là \( \frac{2}{3} \), tức là \( y = \frac{3}{2} x \).
3. Tỉ số giữa \( x \) và \( z \) là \( \frac{4}{9} \), tức là \( z = \frac{9}{4} x \).

Thay các giá trị \( y \) và \( z \) vào phương trình đầu tiên:

\[
x^3 + \left(\frac{3}{2}x\right)^3 + \left(\frac{9}{4}x\right)^3 = -1009.
\]

Tiến hành tính toán các lũy thừa:

\[
\left(\frac{3}{2}x\right)^3 = \frac{27}{8}x^3
\]
\[
\left(\frac{9}{4}x\right)^3 = \frac{729}{64}x^3
\]

Cộng lại:

\[
x^3 + \frac{27}{8}x^3 + \frac{729}{64}x^3 = -1009.
\]

Chuyển đổi tất cả về cùng một mẫu số:

Mẫu số chung của \( 1, \frac{27}{8}, \frac{729}{64} \) là \( 64 \):

\[
x^3 = \frac{64}{64}x^3, \quad \frac{27}{8}x^3 = \frac{216}{64}x^3, \quad \frac{729}{64}x^3 = \frac{729}{64}x^3.
\]

Cộng lại:

\[
\frac{64 + 216 + 729}{64}x^3 = \frac{1009}{64}x^3.
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{1009}{64}x^3 = -1009.
\]

Nhân hai vế với \( 64 \):

\[
1009x^3 = -1009 \cdot 64.
\]

Chia hai vế cho \( 1009 \):

\[
x^3 = -64 \implies x = -4.
\]

Bây giờ, tính \( y \) và \( z \):

\[
y = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \cdot (-4) = -6,
\]
\[
z = \frac{9}{4}x = \frac{9}{4} \cdot (-4) = -9.
\]

Vậy ba số hữu tỉ là:

\[
\boxed{-4}, \quad \boxed{-6}, \quad \boxed{-9}.
\]