Để chứng minh rằng bốn điểm \(B\), \(P\), \(N\) thuộc một đường tròn, ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Gọi điểm \(A\) là \((0, \frac{a \sqrt{3}}{3})\), điểm \(B\) là \((- \frac{a}{2}, 0)\), điểm \(C\) là \((\frac{a}{2}, 0)\).
- Tính tọa độ của các trung điểm:
- Điểm \(M\) (trung điểm \(BC\)):
\[
M\left(0, 0\right)
\]
- Điểm \(N\) (trung điểm \(AC\)):
\[
N\left(\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{6}\right)
\]
- Điểm \(P\) (trung điểm \(AB\)):
\[
P\left(-\frac{a}{4}, \frac{a \sqrt{3}}{6}\right)
\]

2. **Tính khoảng cách giữa các điểm**:
- Khoảng cách \(BN\):
\[
BN = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - \frac{a}{4}\right)^2 + \left(0 - \frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2}
\]
- Khoảng cách \(BP\):
\[
BP = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} + \frac{a}{4}\right)^2 + \left(0 - \frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2}
\]

3. **Kiểm tra đồng quy**:
- Sử dụng tính chất các điểm đồng quy, hoặc có thể sử dụng định lý đường tròn ký hiệu để chứng minh rằng chúng nằm trên cùng một đường tròn (có thể tính diện tích các tam giác và các đối xứng để loạt ra dấu hiệu).

4. **Tính bán kính**:
- Bán kính \(R\) của đường tròn đi qua ba điểm \(B\), \(N\), \(P\) có thể tính bằng công thức:
\[
R = \frac{abc}{4 \Delta}
\]
- Trong đó \(a, b, c\) là các cạnh của tam giác \(BNP\) và \(\Delta\) là diện tích của nó.

Kết luận: Với các hình trên đã chứng minh được bốn điểm \(B\), \(P\), \(N\) thuộc đường tròn và bán kính đường tròn có thể được tính theo công thức trên.