Để tính cạnh BC trong tam giác vuông tại A (tam giác ABC), chúng ta sẽ áp dụng Định lý Pythagore: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \).

Chúng ta sẽ làm từng trường hợp cụ thể:

### a) \( AB = AC \), \( AC + AB = 10 \, cm \)

Gọi \( AB = AC = x \).
Ta có:
\[
x + x = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \, cm
\]
Do đó:
\[
AB = AC = 5 \, cm
\]
Áp dụng Định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50
\]
\[
BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, cm
\]

### b) \( AB + AC = 17 \, cm \), \( AC - AB = 7 \, cm \)

Gọi \( AB = x \), \( AC = y \).
Ta có hệ phương trình:
\[
x + y = 17 \quad (1)
\]
\[
y - x = 7 \quad (2)
\]
Từ (2), ta có: \( y = x + 7 \).
Thay vào (1):
\[
x + (x + 7) = 17 \implies 2x + 7 = 17 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \, cm
\]
Từ đó, \( y = 5 + 7 = 12 \, cm \).
Vậy:
\[
AB = 5 \, cm, \quad AC = 12 \, cm
\]
Áp dụng Định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
\]
\[
BC = \sqrt{169} = 13 \, cm
\]

### c) \( \frac{AB}{3} = \frac{AC}{4} \), \( AC + AB = 14 \)

Gọi \( AB = x \), \( AC = y \).
Từ điều kiện thứ nhất:
\[
\frac{x}{3} = \frac{y}{4} \implies 4x = 3y \implies y = \frac{4}{3}x \quad (1)
\]
Từ điều kiện thứ hai:
\[
x + y = 14 \quad (2)
\]
Thay (1) vào (2):
\[
x + \frac{4}{3}x = 14 \implies \frac{7}{3}x = 14 \implies 7x = 42 \implies x = 6 \, cm
\]
Từ đó:
\[
y = \frac{4}{3} \times 6 = 8 \, cm
\]
Vậy:
\[
AB = 6\, cm, \quad AC = 8 \, cm
\]
Áp dụng Định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \, cm
\]

### d) \( \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3} \) và \( 4AB + 3AC = 25\sqrt{2} \)

Gọi \( AB = 4k \), \( AC = 3k \).
Thay vào phương trình:
\[
4(4k) + 3(3k) = 25\sqrt{2}
\]
Tức là:
\[
16k + 9k = 25\sqrt{2} \implies 25k = 25\sqrt{2} \implies k = \sqrt{2}
\]
Do đó:
\[
AB = 4\sqrt{2} \, cm, \quad AC = 3\sqrt{2} \, cm
\]
Áp dụng Định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 32 + 18 = 50
\]
\[
BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, cm
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( BC = 5\sqrt{2} \, cm \)
- b) \( BC = 13 \, cm \)
- c) \( BC = 10 \, cm \)
- d) \( BC = 5\sqrt{2} \, cm \)