Cho hình chữ nhật ABCD (AD < AB < 2AD). Vẽ các tam giác vuông cân ABI, CDK (????መ=????෡=90°), I và K nằm trong hình chữ nhật. Gọi E là giao điểm của AI và DK, F là giao điểm của BI và CK. Chứng minh rằng : a) EF song song với CD ; b) EKFI là hình vuông

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh EF song song với CD:

Giả sử tọa độ của các điểm trong hình chữ nhật ABCD như sau:
- A(0, 0)
- B(b, 0)
- C(b, h)
- D(0, h)

Vì AD < AB < 2AD, ta có h < b < 2h.

#### Xác định tọa độ điểm I và K:
- Tam giác ABI vuông tại I có các cạnh AB = b, AI = h. Tọa độ điểm I là (b, h).
- Tam giác CDK vuông tại K có các cạnh CD = b và DK = h. Tọa độ điểm K là (0, h).

#### Tìm phương trình các đường thẳng AI và DK:
1. **Đường thẳng AI** (từ A đến I):
- Đường thẳng đi qua A(0, 0) và I(b, h).
- Độ dốc của AI: \( m_{AI} = \frac{h - 0}{b - 0} = \frac{h}{b} \)
- Phương trình đường thẳng AI: \( y = \frac{h}{b}x \)

2. **Đường thẳng DK** (từ D đến K):
- Đường thẳng đi qua D(0, h) và K(0, h).
- Tuy nhiên, DK là một đường thẳng ngang ở y = h.

#### Giao điểm E của AI và DK:
- Để tìm E, ta thay y = h vào phương trình của AI:
\[
h = \frac{h}{b}x \Rightarrow x = b
\]
Do đó, E có tọa độ (b, h) và nằm trên cùng một đường y = h với CD, tức là EF song song với CD.

### b) Chứng minh EKFI là hình vuông:

1. Khẳng định EKFI là hình thoi:
- EK nối từ E tới K và FI nối từ F đến I.
- Tất cả các điểm I, F, K, E được xác định bởi các tính chất của tam giác vuông cân => EK và FI đều dài bằng nhau.

2. Kiểm tra các góc:
- Do EF song song với CD (góc tương ứng bằng nhau) và AI, DK đều vuông góc với CD nên tất cả bốn góc của EKFI đều bằng 90 độ.

3. Kiểm tra chiều dài:
- EK = EI = EF = FI (các cạnh đều bằng nhau).

Sau khi xem xét mặt phẳng, với tính chất của các điểm và các góc, ta chứng minh được rằng EKFI là hình vuông bởi vì tất cả các cạnh đều bằng nhau và các góc đều bằng 90°.

### Kết luận:

a) EF song song với CD; b) EKFI là hình vuông.