Để tìm các hệ số \( a \) và \( b \) sao cho đa thức \( x^3 + ax + b \) chia hết cho \( x^2 - x - 2 \), trước hết ta cần phân tích đa thức \( x^2 - x - 2 \).

Ta có thể phân tích \( x^2 - x - 2 \) như sau:

\[
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
\]

Điều này có nghĩa là nếu \( x^3 + ax + b \) chia hết cho \( x^2 - x - 2 \), thì nó cũng phải chia hết cho \( (x - 2) \) và \( (x + 1) \). Điều này dẫn đến hai điều kiện:

1. \( x^3 + ax + b = 0 \) khi \( x = 2 \)
2. \( x^3 + ax + b = 0 \) khi \( x = -1 \)

Bây giờ, ta sẽ giải quyết từng điều kiện:

**Điều kiện 1:**
Khi \( x = 2 \):
\[
2^3 + 2a + b = 0 \implies 8 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = -8 \quad (1)
\]

**Điều kiện 2:**
Khi \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + a(-1) + b = 0 \implies -1 - a + b = 0 \implies -a + b = 1 \quad (2)
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình gồm (1) và (2):

1. \( 2a + b = -8 \)
2. \( -a + b = 1 \)

Ta sẽ giải hệ này. Từ phương trình (2), ta có \( b = a + 1 \). Thay vào phương trình (1):

\[
2a + (a + 1) = -8
\]

Giải phương trình này:

\[
2a + a + 1 = -8 \implies 3a + 1 = -8 \implies 3a = -9 \implies a = -3
\]

Thay giá trị của \( a \) vào (2) để tìm \( b \):

\[
-b + (-3) = 1 \implies b = -3 + 1 = -2
\]

Do đó, ta có:

\[
a = -3, \quad b = -2
\]

Cuối cùng, các giá trị cần tìm là:

\[
\boxed{(-3, -2)}
\]