Để tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho đa thức \(x^3 + ax + b\) chia hết cho đa thức \(x^2 + x - 2\), chúng ta cần xác định các điều kiện thỏa mãn yêu cầu này.

Đầu tiên, ta biết rằng nếu một đa thức \(P(x)\) chia hết cho một đa thức \(Q(x)\), thì mọi nghiệm của \(Q(x)\) cũng phải là nghiệm của \(P(x)\).

Ta bắt đầu tìm nghiệm của đa thức \(Q(x) = x^2 + x - 2\):

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = -2
\]

Tiếp theo, ta cần đảm bảo rằng cả \(P(1)\) và \(P(-2)\) đều bằng 0.

1. Xét nghiệm \(x_1 = 1\):

\[
P(1) = 1^3 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b = 0
\]

Từ đó ta có phương trình:

\[
a + b + 1 = 0 \quad (1)
\]

2. Xét nghiệm \(x_2 = -2\):

\[
P(-2) = (-2)^3 + a \cdot (-2) + b = -8 - 2a + b = 0
\]

Từ đó ta có phương trình:

\[
-2a + b - 8 = 0 \quad (2)
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình (1) và (2):

1. \(a + b + 1 = 0 \quad (1)\)
2. \(-2a + b - 8 = 0 \quad (2)\)

Giải phương trình (1) để tìm b theo a:

\[
b = -a - 1
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
-2a + (-a - 1) - 8 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
-2a - a - 1 - 8 = 0 \implies -3a - 9 = 0 \implies 3a = -9 \implies a = -3
\]

Thay giá trị \(a\) vào biểu thức của \(b\):

\[
b = -(-3) - 1 = 3 - 1 = 2
\]

Vậy, các giá trị của \(a\) và \(b\) là:

\[
\boxed{(-3, 2)}
\]