Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính diện tích hình thang ABCD

Diện tích hình thang được tính bằng công thức:
\[
S_{\text{hình thang}} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]
trong đó:
- \( a \) và \( b \) là độ dài của hai đáy của hình thang (trong trường hợp này, \( a = AB = 9 \) cm và \( b = DC = 16 \) cm).
- \( h \) là chiều cao của hình thang.

Trước tiên, ta cần tìm chiều cao \( h \) của hình thang. Ta có tam giác \( BNC \) với diện tích đã cho là 35 cm². Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
\[
S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{cao}
\]
Trong trường hợp này, đáy là đoạn \( BC \) và chiều cao là đoạn \( CN \).

Do đó, ta có:
\[
35 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CN
\]
Thay \( CN = 5 \) cm vào phương trình:
\[
35 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 5
\]
Giải phương trình này để tìm \( BC \):
\[
35 = \frac{5}{2} \cdot BC
\]
\[
BC = \frac{35 \times 2}{5} = 14 \text{ cm}
\]

Chiều cao \( h \) của hình thang cũng sẽ là chiều cao từ điểm \( C \) xuống đáy \( AB \), nên ở đây \( CN = h = 5 \) cm.

Giờ đây, ta có thể tính diện tích hình thang:
\[
S_{\text{hình thang}} = \frac{(9 + 16) \cdot 5}{2} = \frac{25 \cdot 5}{2} = \frac{125}{2} = 62.5 \text{ cm}^2
\]

### b) Tính diện tích tam giác BND

Ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác:
\[
S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{cao}
\]
Trong tam giác \( BND \), đáy là đoạn \( BD \) và chiều cao là đoạn \( CN \), không nhất thiết nằm trên cạnh \( BD \), nhưng chiều cao từ \( N \) đến \( BD \) sẽ cùng chiều với cạnh \( DC \).

Chúng ta biết diện tích hình thang ABCD là tổng diện tích của hai tam giác \( BNC \) và \( BND \):
\[
S_{\text{hình thang}} = S_{\text{tam giác} BNC} + S_{\text{tam giác} BND}
\]

Ta biết:
- \( S_{\text{hình thang}} = 62.5 \text{ cm}^2 \)
- \( S_{\text{tam giác} BNC} = 35 \text{ cm}^2 \)

Do đó:
\[
S_{\text{tam giác} BND} = S_{\text{hình thang}} - S_{\text{tam giác} BNC} = 62.5 - 35 = 27.5 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận

- Diện tích hình thang ABCD là \( 62.5 \text{ cm}^2 \).
- Diện tích tam giác BND là \( 27.5 \text{ cm}^2 \).