Thực hiện phép tính

Để thực hiện phép tính \( N = |x-1| + |x-2| + |x-3| + \ldots + |x-2000| \), ta sẽ phân tích biểu thức này theo giá trị của \( x \).

### Phân Tích

1. **Khi \( x < 1 \)**:
\[
|x-k| = k-x \quad (k = 1, 2, \ldots, 2000)
\]
Khi đó,
\[
N = (1-x) + (2-x) + (3-x) + \ldots + (2000-x) = (1+2+3+\ldots+2000) - 2000x
\]
Tính tổng \( 1 + 2 + 3 + \ldots + 2000 = \frac{2000 \times 2001}{2} = 1000500 \). Do đó, trong trường hợp này:
\[
N = 1000500 - 2000x
\]

2. **Khi \( 1 \leq x < 2000 \)**:
Ta chia thành hai trường hợp:
- Các giá trị \( k \) từ 1 đến \( \lfloor x \rfloor \) sẽ được tính là \( x - k \).
- Các giá trị \( k \) từ \( \lfloor x \rfloor + 1 \) đến 2000 sẽ được tính là \( k - x \).

Gọi \( n = \lfloor x \rfloor \), khi đó:
\[
N = \sum_{k=1}^{n} (k-x) + \sum_{k=n+1}^{2000} (k-x)
\]
Tính cả hai tổng:
\[
= \left( \sum_{k=1}^{n} k - n \cdot x \right) + \left( \sum_{k=n+1}^{2000} k - (2000-n)x \right)
\]

Tổng \( 1 \) đến \( n \):
\[
= \frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{và tổng từ } n+1 \text{ đến } 2000 = \frac{2000(2001)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}
\]
Kết hợp lại:
\[
N = \frac{n(n+1)}{2} + \left( \frac{2000 \times 2001}{2} - \frac{n(n+1)}{2} \right) - 2000x + nx = \frac{2000 \cdot 2001}{2} - (2000-n)x
\]

3. **Khi \( x \geq 2000 \)**:
\[
|x-k| = x-k
\]
Khi đó,
\[
N = (x-1) + (x-2) + (x-3) + \ldots + (x-2000) = 2000x - (1 + 2 + 3 + \ldots + 2000)
\]
Dễ thấy:
\[
N = 2000x - 1000500
\]

### Kết Luận
Tóm lại, giá trị của \( N \) phụ thuộc vào giá trị của \( x \) như sau:

\[
N = \begin{cases}
1000500 - 2000x & \text{nếu } x < 1 \\
1000500 - (2000 - n)x & \text{nếu } 1 \leq x < 2000 \\
2000x - 1000500 & \text{nếu } x \geq 2000
\end{cases}
\]