Để chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành, ta sẽ sử dụng khái niệm về các đường thẳng song song và tính chất của hình bình hành.

### a. Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành:

1. **Tính chất đường thẳng song song**:
- Theo giả thiết, \( DE \parallel AB \) và \( DF \parallel AC \).

2. **Tính chất các cặp cạnh**:
- Vì \( DE \parallel AB \), ta có \( \angle AED = \angle ABE \) (góc so le trong).
- Tương tự, vì \( DF \parallel AC \), ta có \( \angle ADF = \angle ACF \) (góc so le trong).

3. **Xét tứ giác AEDF**:
- Ta biết rằng nếu một tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song (như DE và AB), và một cặp cạnh đối diện còn lại song song (như DF và AC), thì tứ giác đó sẽ là hình bình hành.
- Do đó, từ các tính chất và góc đã nêu, ta có \( AE = DF \) và \( DE = AF \), từ đó suy ra AEDF là hình bình hành.

### b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDF là hình chữ nhật:

Để tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần thêm một điều kiện về các góc của nó:

1. **Điều kiện góc vuông**:
- Để tứ giác AEDF là hình chữ nhật, cần có hai cặp góc vuông.
- Tức là: \( \angle AED = 90^\circ \) và \( \angle ADF = 90^\circ \).

2. **Từ đó suy ra điều kiện cho tam giác ABC**:
- Khi đó, tam giác ABC cần phải thoả mãn:
- Nếu \( AB \) là đáy, thì \( DE // AB \) sẽ cắt một cách vuông góc.
- Tương tự với \( DF // AC \).

3. **Kết luận**:
- Một cách tổng quát, tam giác ABC sẽ có AEDF là hình chữ nhật khi các đường cao từ A tới BC (đường thẳng AB và AC vuông góc tại E và F).

Tóm lại, tứ giác AEDF là hình bình hành do tính chất song song của các cạnh, và nó là hình chữ nhật khi tới độ thẳng góc giữa các cạnh AED, ADF và các đoạn thẳng tương ứng trong tam giác ABC.