Để tính quãng đường mà vật dao động điều hòa đi được trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = \frac{7\pi}{60}\) (s), trước hết chúng ta cần tìm vị trí của vật tại hai thời điểm này bằng cách sử dụng phương trình đã cho:

\[
x(t) = 6 \cos\left(20t - \frac{\pi}{3}\right) \text{ (cm)}
\]

1. **Tìm vị trí tại \(t = 0\)**:

\[
x(0) = 6 \cos\left(20 \cdot 0 - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ (cm)}
\]

2. **Tìm vị trí tại \(t = \frac{7\pi}{60}\)**:

Tính \(20t\) khi \(t = \frac{7\pi}{60}\):

\[
20t = 20 \cdot \frac{7\pi}{60} = \frac{7\pi}{3}
\]

Vậy:

\[
x\left(\frac{7\pi}{60}\right) = 6 \cos\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(\frac{6\pi}{3}\right) = 6 \cos(2\pi) = 6 \cdot 1 = 6 \text{ (cm)}
\]

3. **Tính quãng đường đi được**:

Quãng đường đi được là trị tuyệt đối của sự thay đổi vị trí:

\[
\Delta x = |x\left(\frac{7\pi}{60}\right) - x(0)| = |6 - 3| = 3 \text{ (cm)}
\]

Do đó, quãng đường mà vật đi được từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm \(t = \frac{7\pi}{60}\) là **3 cm**.