Để tìm giao của hai tập hợp \( A \) và \( B \), chúng ta sẽ phân tích từng tập hợp.

1. **Tập hợp \( A \)**:
\[
A = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, |x| > 4 \}
\]
Tập hợp này bao gồm các số thực có giá trị tuyệt đối lớn hơn 4, tức là:
\[
A = (-\infty, -4) \cup (4, \infty)
\]

2. **Tập hợp \( B \)**:
\[
B = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, -5 \leq x - 1 < 5 \}
\]
Giải bất đẳng thức này:
\(-5 \leq x - 1 < 5\) tương đương với \( -4 \leq x < 6 \).
Do đó:
\[
B = [-4, 6)
\]

3. **Tìm giao \( A \cap B \)**:
Chúng ta cần tìm phần giao giữa hai tập hợp:
\[
A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \in A \text{ và } x \in B \}
\]

Với \( A = (-\infty, -4) \cup (4, \infty) \) và \( B = [-4, 6) \), chúng ta xét hai phần:

- **Phần giao trong khoảng \((- \infty, -4)\)**:
- Không có số nào trong \( B \) nằm trong phần này, vì:
\[-4 \notin (-\infty, -4)\]

- **Phần giao trong khoảng \((4, \infty)\)**:
- Phần này nằm trong \( B = [-4, 6) \), do đó giao của phần này là:
\((4, 6)\)

Kết luận:
\[
A \cap B = (4, 6)
\]