Để giải phương trình bậc ba \(2x^3 - 7x^2 + 4x + 1 = 0\), chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm hoặc phương pháp phân tích bậc ba.

1. **Nhận diện các nghiệm khả thi**: Áp dụng định lý bậc liền kề, chúng ta thử các giá trị \(x = -1, 0, 1, 2, ...\) để tìm nghiệm.

2. **Kiểm tra các nghiệm**:
- Khi \(x = 1\):
\[
2(1)^3 - 7(1)^2 + 4(1) + 1 = 2 - 7 + 4 + 1 = 0
\]
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình.

3. **Phân tích thành nhân tử**:
Ta có thể phân tích phương trình \(2x^3 - 7x^2 + 4x + 1\) thành nhân tử:
\[
2x^3 - 7x^2 + 4x + 1 = (x - 1)(2x^2 - 5x - 1)
\]

4. **Giải phần bậc hai**:
Giải phương trình bậc hai \(2x^2 - 5x - 1 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -1\):
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}
\]

5. **Kết quả**:
Các nghiệm của phương trình \(2x^3 - 7x^2 + 4x + 1 = 0\) là:
- \(x_1 = 1\)
- \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}\)
- \(x_3 = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}\)

Bạn có thể kiểm tra lại các nghiệm để xác nhận chính xác!