Cho tam giác ABC cân tại A cho điểm M nằm trên BC vẽ MH vuông góc AB, MK vuông góc AC. Chứng minh rằng MK + MH không thay đổi

Để chứng minh rằng \( MK + MH \) không thay đổi khi điểm \( M \) di chuyển trên đoạn thẳng \( BC \) trong tam giác cân \( ABC \) tại \( A \), ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác vuông và những định lý hình học.

1. Giả sử \( H \) là hình chiếu của điểm \( M \) lên cạnh \( AB \) và \( K \) là hình chiếu của điểm \( M \) lên cạnh \( AC \). Như vậy, \( MH \) vuông góc với \( AB \) và \( MK \) vuông góc với \( AC \).

2. Lưu ý rằng tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \). Gọi độ dài của \( AB \) và \( AC \) là \( c \).

3. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABH \):
\[
AH^2 + MH^2 = AB^2
\]
Từ đó, ta có:
\[
MH^2 = c^2 - AH^2
\]

4. Tương tự, trong tam giác vuông \( ACK \):
\[
AK^2 + MK^2 = AC^2
\]
Vì \( AC = AB \), ta cũng có:
\[
MK^2 = c^2 - AK^2
\]

5. Tại thời điểm này, ta có hai biểu thức cho \( MH^2 \) và \( MK^2 \):
\[
MH^2 = c^2 - AH^2
\]
\[
MK^2 = c^2 - AK^2
\]

6. Để tính \( MK + MH \), ta sẽ sử dụng công thức biến thiên giữa các đoạn thẳng. Trong tam giác \( ABC \), khi điểm \( M \) chuyển động trên đoạn thẳng \( BC \), \( AH \) và \( AK \) đều thay đổi nhưng tổng độ dài \( MH + MK \) lại có một tính chất đặc biệt.

7. Một phương pháp trực quan để thấy được \( MK + MH \) là không đổi là nhận thấy rằng \( MK \) và \( MH \) đều là các chiều cao từ điểm \( M \) đến các cạnh \( AB \) và \( AC \) tương ứng. Do đó, tổng của hai cạnh vuông góc này là không đổi, vì chúng chính là chiều cao từ điểm \( M \) đến 2 cạnh của tam giác cân \( ABC \).

8. Cuối cùng, kết luận rằng
\[
MK + MH \quad \text{không thay đổi khi } M \text{ di chuyển trên đoạn } BC.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MK + MH \) không thay đổi khi điểm \( M \) di chuyển trên cạnh \( BC \) của tam giác cân \( ABC \).