Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ tiến hành như sau:

**a)** Ta cần chứng minh rằng ba điểm I, M, K thẳng hàng.

1. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Do đó, ta có \( BM = MC \).
2. Ta lấy điểm I thuộc AC và điểm K thuộc BE, sao cho \( AI = EK \).
3. Sử dụng công thức về tỉ lệ đoạn thẳng, ta có \( AI = EK \).
4. Xét tam giác AMC và tam giác AMK, ta có:
- \( AM \) là đoạn thẳng chung.
- \( MB = MC \) do M là trung điểm.
- \( AI = EK \) (điều kiện đã cho).
5. Từ đó, áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng cho tam giác có trung điểm, ta có \( \frac{AI}{AM} = \frac{IK}{AM} \).

6. Do đó, ta có \( \frac{AI}{IK} = 1 \) tức là \( AI = IK \), suy ra I, M, K thẳng hàng.

**b)** Để chứng minh rằng QR = 2AM, ta sẽ làm như sau:

1. Vẽ tam giác AQB vuông cân tại A và ARC vuông cân tại A.
2. Ta biết các góc ở A trong hai tam giác ABQ và ACR đều bằng 90 độ. Do đó các đoạn thẳng AQ và AR đều bằng nhau, và từ điểm A đến các cạnh BC được kéo dài là đối xứng qua đoạn thẳng AM.
3. Gọi điểm H là chân đường vuông góc từ A xuống BC, do M là trung điểm của BC, nên \( MH = MB \).
4. Vì tam giác AQB vuông cân, nên \( AQ = AB \) và tam giác ARC vuông cân nên \( AR = AC \).
5. Suy ra độ dài QR chính là độ dài từ điểm A đến cạnh đường thẳng nối Q và R và có thể thể hiện được bằng độ dài 2 lần trung điểm AM.

Khi đó, ta có thể tính ra được:

\[ QR = AQ + AR = 2AM. \]

Như vậy, ta đã chứng minh được \( QR = 2AM \).

Kết luận, đã chứng minh thành công cả hai phần. I, M, K thẳng hàng và QR = 2AM.