Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( B = xy + yz + zx \) với điều kiện \( x + y + z = 3 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp Lagrange.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể sử dụng định lý AM-GM (Trung Bình Cộng - Trung Bình Hình Học) để tìm giá trị lớn nhất một cách dễ dàng hơn.

Giả sử \( x, y, z \) là ba số không âm. Theo định lý AM-GM, ta có:

\[
\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}
\]

Do đó, với \( x + y + z = 3 \), ta có:

\[
1 \geq \sqrt[3]{xyz} \implies xyz \leq 1
\]

Biểu thức \( B = xy + yz + zx \) có thể được viết lại dụng AM-GM như sau:

\[
B = xy + yz + zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = 3
\]

Tuy nhiên, giá trị này không thực sự đạt được. Để xem xét, ta có thể xét trường hợp đặc biệt để tìm giá trị lớn nhất của \( B \):

Giả sử \( x = y = z = 1 \):

\[
B = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3
\]

Hoặc ta thử các trường hợp khác, chẳng hạn \( x = 0, y = 0, z = 3 \):

\[
B = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0 = 0
\]

Rõ ràng giá trị \( B \) cực đại khi \( x = y = z = 1 \).

Vì vậy, giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 3 \) khi \( x = y = z = 1 \).