Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x(x + 1) + 5 \), chúng ta có thể biến đổi biểu thức này như sau:

\[
A = x^2 + x + 5
\]

Biểu thức này là một hàm bậc 2 với hệ số trước \( x^2 \) là dương, do đó nó có một điểm tối thiểu.

Chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:

1. Tính đạo hàm:

\[
A' = 2x + 1
\]

2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[
2x + 1 = 0 \\
x = -\frac{1}{2}
\]

3. Thay giá trị \( x = -\frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \):

\[
A\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 5 \\
= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 5 \\
= \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{20}{4} \\
= \frac{19}{4}
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{\frac{19}{4}}
\]