Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
2(x+y) + 3(x-y) = 4 \\
(x+y) + 2(x-y) = 5
\end{cases}
\]

Ta làm như sau:

1. **Giải phương trình đầu tiên:**
\[
2(x+y) + 3(x-y) = 4
\]

Mở rộng:
\[
2x + 2y + 3x - 3y = 4
\]
Kết hợp các hạng tử:
\[
5x - y = 4 \quad \text{(1)}
\]

2. **Giải phương trình thứ hai:**
\[
(x+y) + 2(x-y) = 5
\]

Mở rộng:
\[
x + y + 2x - 2y = 5
\]
Kết hợp các hạng tử:
\[
3x - y = 5 \quad \text{(2)}
\]

3. **Giải hệ phương trình (1) và (2):**

Ta có:
\[
\begin{cases}
5x - y = 4 \quad \text{(1)} \\
3x - y = 5 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Trừ phương trình (2) từ phương trình (1):
\[
(5x - y) - (3x - y) = 4 - 5
\]
\[
2x = -1
\]
Từ đó:
\[
x = -\frac{1}{2}
\]

4. **Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (2) để tìm \( y \):**
\[
3(-\frac{1}{2}) - y = 5
\]
\[
-\frac{3}{2} - y = 5
\]
\[
-y = 5 + \frac{3}{2}
\]
Quy đồng:
\[
-y = \frac{10}{2} + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}
\]
Do đó:
\[
y = -\frac{13}{2}
\]

5. **Kết quả:**
Giải hệ phương trình cho ra:
\[
\left( x, y \right) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{13}{2} \right)
\]