Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các đa thức bậc hai, chúng ta có thể sử dụng công thức cho đỉnh của parabol. Một đa thức bậc hai có dạng tổng quát là \( ax^2 + bx + c \). Nếu \( a > 0 \), parabol sẽ có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh; nếu \( a < 0 \), parabol sẽ có giá trị lớn nhất tại đỉnh.

### 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

**a. \( A = x^2 - 3x + 10 \)**

- \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 10 \).
- Đỉnh của parabol được tính bằng công thức \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} \).
- Tính giá trị của \( A \) tại \( x = \frac{3}{2} \):
\[
A\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 10 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 10 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{40}{4} = \frac{31}{4}.
\]
- Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \frac{31}{4} \).

**b. \( B = x^2 + x + 2 \)**

- \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 2 \).
- Đỉnh của parabol được tính bằng \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \).
- Tính giá trị của \( B \) tại \( x = -\frac{1}{2} \):
\[
B\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}.
\]
- Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( \frac{7}{4} \).

### 2. Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

**c. \( C = -x^2 + 5x - 127 \)**

- \( a = -1 \), \( b = 5 \), \( c = -127 \).
- Đỉnh của parabol được tính bằng \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot -1} = \frac{5}{2} \).
- Tính giá trị của \( C \) tại \( x = \frac{5}{2} \):
\[
C\left(\frac{5}{2}\right) = -\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{2}\right) - 127 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} - 127 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} - \frac{508}{4} = -\frac{483}{4}.
\]
- Vậy giá trị lớn nhất của \( C \) là \( -\frac{483}{4} \).

**d. \( D = 9x - 3x^2 + 4 \)**

- \( a = -3 \), \( b = 9 \), \( c = 4 \).
- Đỉnh của parabol được tính bằng \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{2 \cdot -3} = \frac{3}{2} \).
- Tính giá trị của \( D \) tại \( x = \frac{3}{2} \):
\[
D\left(\frac{3}{2}\right) = 9\left(\frac{3}{2}\right) - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = \frac{27}{2} - 3 \cdot \frac{9}{4} + 4 = \frac{27}{2} - \frac{27}{4} + \frac{8}{2} = \frac{27}{2} - \frac{27}{4} + \frac{16}{4} = \frac{54}{4} - \frac{27}{4} + \frac{16}{4} = \frac{43}{4}.
\]
- Vậy giá trị lớn nhất của \( D \) là \( \frac{43}{4} \).

Tóm lại:
1. Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \frac{31}{4} \) và của \( B \) là \( \frac{7}{4} \).
2. Giá trị lớn nhất của \( C \) là \( -\frac{483}{4} \) và của \( D \) là \( \frac{43}{4} \).